Challenging Recreational Mathematics: ▪ Τα θέματα του διαγωνισμού SEEMOUS 2011

Παρασκευή 4 Μαρτίου 2011

▪ Τα θέματα του διαγωνισμού SEEMOUS 2011

Θέμα 1ο
Δίνονται ακέραιος $n \geqslant 1$ και μη φθίνουσα συνάρτηση $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ . Να αποδειχθεί ότι
$\displaystyle{ \int_0^1 f(x) \; dx \leqslant (n+1) \int_0^1 x^n f(x) \; dx. }$
Να βρεθούν όλες οι μη φθίνουσες συνεχείς συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει η ισότητα.
Θέμα 2ο
Έστω $A = (a_{ij})$ πραγματικός $n \times n$ πίνακας ώστε $A^n \neq 0$ και $a_{ij}a_{ji} \leqslant 0$ για κάθε i,j

. Να δειχθεί ότι ο

έχει τουλάχιστον δύο μη πραγματικές ιδιοτιμές.
Θέμα 3ο
Δίνονται διανύσματα $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} \in \mathbb{R}^n$ . Να αποδειχθεί ότι:
$\displaystyle{ (\|\mathbf{a}\|(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}))^2 + (\|\mathbf{b}\|(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}))^2 \leqslant \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \|\mathbf{c}\|^2 (\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\| + |\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}|) }$
Θέμα 4ο
Έστω $f :[0,1]\to \mathbb{R}$ αύξουσα συνάρτηση με συνεχή δεύτερη παράγωγο. Ορίζουμε ακολουθίες
$\displaystyle{L_n=\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)}$ και
$\displaystyle{U_n=\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)}$
για $n \geqslant 1$ . Διαιρούμε το διάστημα [L_n,U_n]

σε τρία ίσα τμήματα. Να αποδειχθεί ότι για αρκετά μεγάλο

o αριθμός $\displaystyle{I= \int_0^1 f(x) \; dx}$ ανήκει στο μεσαίο από αυτά τα τμήματα.
▪ ▪ Θέματα-Λύσεις-Σχέδιο Βαθμολόγησης
Τα αποτελέσματα για την Εθνική μας ομάδα είναι:
1) Ζαδίκ Ηλίας - Δευτεροετής φοιτητής στο Μαθηματικό Αθηνών 39.5/40 Χρυσό
2) Μοσχίδης Γεώργιος - Δευτεροετής φοιτητής στη ΣΕΜΦΕ 28/40 Χρυσό
3) Ζέμας Κωνσταντίνος - Πρωτοετής φοιτητής στο Μαθηματικό Αθηνών 15/40 Ασημένιο
4) Εσκενάζης Αλέξανδρος - Πρωτοετής φοιτητής στο Μαθηματικό Αθηνών 14/40 Ασημένιο
5) Μπορμπιλάς Γεώργιος - Δευτεροετής φοιτητής στο Μαθηματικό Αθηνών 6/40 Χάλκινο
6) Μπογιόκας Δημήτριος - Πρωτοετής φοιτητής στο Μαθηματικό Αθηνών 6/40 Χάλκινο
Υπήρχε και ένα ασημένιο μετάλλιο (18/40) στην αποστολή της ομάδας της Ξάνθης από τον φοιτητή Adjenughwure Kingsley του Δημοκριτείου Πανεπιστημίου Θράκης.
Μπράβο παιδιά!