Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προετοιμάζομαι για τις Πανελλαδικές - ΑΣΚΗΣΗ 7η

 Του Αβραάμ Τσακμακίδη  (3ο Λύκειο Γιαννιτσών) 

Έστω συνεχής συνάρτηση $f: R\rightarrow R$, τέτοια ώστε

• $f^2(x) = x^2 + x + 1$, $x \in R$
• $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{1+f(x)}{x}=-\dfrac{1}{2}$

και

$g(x) = κ(x-1)^3 +λ(x-3)^5$, με $κ, λ\in R$.

i) Να δείξετε ότι γραφική παράσταση της $f$ δεν έχει κοινά σημεία με τον άξονα $χ'χ$.

ii) Να δείξετε ότι

$f(x) = -\sqrt{x^2 +x+1}$, $x \in R$.

iii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της $C_f$ που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

iv) Αν επιπλέον

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty}[λx + κ + f(x)]=\dfrac{3}{2}$

α) Nα δείξετε ότι

$κ = 2$ και $λ = 1$.

β) Να δείξετε ότι η $C_g$ τέμνει τον $χ'χ$ σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη $χ_0\in(1,3)$.

γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της $C_g$ στο σημείο $Α(3,g(3))$.

δ) Nα δείξετε ότι

$(g\circ f)'(0)=-652$.