Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προετοιμάζομαι για τις Πανελλαδικές - ΑΣΚΗΣΗ 7η

 Του Αβραάμ Τσακμακίδη  (3ο Λύκειο Γιαννιτσών) 

Έστω συνεχής συνάρτηση $f:R\to R$, τέτοια ώστε

• $f^2(x)=x^2+x+1$, $x\in R$
• ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1+f(x)}{x}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}}$

και

$g(x)=\kappa (x-1{)}^3+\lambda (x-3{)}^5$, με $\kappa ,\lambda \in R$.

i) Να δείξετε ότι γραφική παράσταση της $f$ δεν έχει κοινά σημεία με τον άξονα ${\chi }^{\prime }\chi$.

ii) Να δείξετε ότι

$f(x)=-\sqrt{x^2+x+1}$, $x\in R$.

iii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της $C_f$ που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

iv) Αν επιπλέον

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[\lambda x+\kappa +f(x)]={\displaystyle \frac{3}{2}}}$

α) Nα δείξετε ότι

$\kappa =2$ και $\lambda =1$.

β) Να δείξετε ότι η $C_g$ τέμνει τον ${\chi }^{\prime }\chi$ σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη ${\chi }_0\in (1,3)$.

γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της $C_g$ στο σημείο ${\rm A}(3,g(3))$.

δ) Nα δείξετε ότι

$(g\circ f{)}^{\prime }(0)=-652$.