Τρίτη, 8 Μαρτίου 2016

$f(x) = g(x)$

Έστω $f(x)$ το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού $x$. Για παράδειγμα,
$f(123) = 1+2+3 = 6$
και
$f(1337) = 1 + 3 + 3 + 7 = 14$
Έστω $g(x)$ η διαφορά μεταξύ του αθροίσματος κάθε δεύτερου ψηφίου από το ψηφίο των μονάδων και του αθροίσματος κάθε δεύτερου ψηφίου από το ψηφίο των δεκάδων του $x$. 
Για παράδειγμα,
$g(1337) = (3 + 7) - (1 + 3) = 10 - 4 = 6$ 
και
$g(7654321) = (1 + 3 + 5 + 7) - (2 + 4 + 6) = 16 - 12 = 4$ 
Να υπολογιστεί ο αριθμός των ακεραίων αριθμών $x$, στο διάστημα $[1,100000]$ για τους οποίους ισχύει $f(x) = g(x)$.
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

2 σχόλια:

  1. Υπάρχει νομίζω μια ασάφεια στον ορισμό της g(x), πιθανότατα από την κατά λέξη μετάφραση της πρωτότυπης αγγλικής φράσης 'every other digit', που δεν σημαίνει 'κάθε άλλο ψηφίο..', αλλά 'κάθε δεύτερο ψηφίο.', δηλαδή ψηφίο παρά ψηφίο. Κάτι τέτοιο τουλάχιστον προκύπτει από τα αναφερόμενα παραδείγματα.
    Αν είναι πράγματι έτσι, τότε έχουμε:
    f(100000)=1, g(100000)=-1, άρα f(100000)≠ g(100000).
    Αν παραστήσουμε τώρα όλους τους ακεραίους από το 0 μέχρι το 99999 ως πενταφήφιους αβγδε, με τους α,β,γ,δ,ε να παίρνουν κάθε δυνατή ακέραια τιμή από 0 έως 9, τότε η συνθήκη:
    f(αβγδε)=g(αβγδε) => α+β+γ+δ+ε = α-β+γ-δ+ε => β+δ = -β-δ ικανοποιείται μόνο για β=δ=0, ενώ τα ψηφία α,γ,ε δεν έχουν κάποιον άλλον περιορισμό.
    Στο διάστημα [0,99999] υπάρχουν λοιπόν 10^3 ακέραιοι που ικανοποιούν τη συνθήκη f(x)=g(x), αλλά από αυτούς πρέπει να εξαιρεθεί ο 00000=0 που δεν ανήκει στο διάστημα [1,100000], ενώ ο 100000 που ανήκει δεν ικανοποιεί τη συνθήκη. Επομένως, το πλήθος των ζητούμενων ακεραίων είναι 10^3-1=999.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Το διόρθωσα papadim. Τα αγγλικά μου βλέπεις ...

    ΑπάντησηΔιαγραφή