$α)$ Πάνω σε ένα τραπέζι υπάρχουν $199$ αναλογικά ρολόγια. Τα ρολόγια είναι διαφόρων μεγεθών/διαμέτρων και δουλεύουν όλα ,αλλά δεν έχουν αναγκαστικά όλα την ίδια περίοδο $Τ$. Oι ρυθμοί περιστροφής των λεπτοδεικτών τους δηλαδή, είναι μεν συνεχείς και σταθεροί αλλά όχι αναγκαστικά ίσοι. Αν οποιαδήποτε χρονική στιγμή, ένα τουλάχιστον ρολόι, όχι αναγκαστικά το ίδιο κάθε φορά!, δείχνει τη σωστή ώρα, αποδείξτε πως υπάρχει τουλάχιστον ένα ρολόι το οποίο δείχνει συνεχώς σωστά την ώρα.
$β)$. Κάποιος ρυθμίζει τα ίδια $199$ ρολόγια και δείχνουν όλα σωστά. Τα καντράν των ρολογιών έχουν τυχαίους προσανατολισμούς. Έστω $Κ$ το κέντρο του τραπεζιού. Αποδείξτε πως υπάρχει μια χρονική στιγμή $t$ κατά την οποία το άθροισμα των αποστάσεων των κέντρων των ρολογιών από το $Κ$ είναι μικρότερο από το άθροισμα των αποστάσεων του $Κ$ από τα άκρα των λεπτοδεικτών.
Για το $ \beta $.
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω $ A_{K} $ το σύνολο των αποστάσεων του κέντρου $K$ του τραπεζιού από τα κέντρα των ρολογιών. Θεωρούμε δύο χρονικές στιγμές με διαφορά $30$ λεπτών η μια από την άλλη, οι λεπτοδείκτες θα βρίσκονται σε συμμετρικές θέσεις ως προς τα κέντρα των ρολογιών και μάλιστα για κάθε ρολόι το κέντρο του τραπεζιού και τα άκρα των λεπτοδεικτών σχηματίζουν τρίγωνο στο οποίο το κέντρο του ρολογιού, έστω $ O_{i} $ βρίσκεται στο μέσον της πλευράς που σχηματίζουν τα άκρα των λεπτοδεικτών τις δύο αυτές χρονικές στιγμές, άρα $K O_{i}$ διάμεσος κάθε τριγώνου, οπότε αν $ \Sigma A_{1} $ το άθροισμα των αποστάσεων του $K$ από τα άκρα των λεπτοδεικτών την πρώτη χρονική στιγμή και $ \Sigma A_{2} $ το άθροισμα των λεπτοδεικτών την δεύτερη χρονική στιγμή, μετά από $30$ λεπτά τότε το άθροισμα δύο πλευρών τριγώνου είναι μεγαλύτερο από το διπλάσιο της διαμέσου στην τρίτη πλευρά.
Άρα $ \Sigma A_{1}+ \Sigma A_{2}>2 A_{K}$ .
Το ζητούμενο εδείχθη καθώς το $ A_{K} $ είναι οπωσδήποτε μικρότερο από το μεγαλύτερο από τα δύο αθροίσματα των λεπτοδεικτών, ή και ίσα να είναι τα αθροίσματα $ \Sigma A_{1} $ και $ \Sigma A_{2} $ , πάλι μικρότερο είναι το $ A_{K} $
Για το $a$
ΑπάντησηΔιαγραφήΑπό την πρώτη στιγμή μου μου φάνηκε .."σατανικά" εύκολο! :-) και εκ τούτου το απέκλεισα και πήγα στο $b$, αλλά σιγά-σιγά μου φαίνεται λογική η σκέψη μου, στην χειρότερη περίπτωση να διατυπώσω "μπαρούφα"!
Υποτεθήστω ότι κανένα ρολόι δεν δείχνει συνεχώς σωστά την ώρα. Τότε κατά την διάρκεια κάθε μιας πλήρους περιστροφής κάθε λεπτοδείκτη ΜΙΑ ΦΟΡΑ ΜΟΝΟ θα δείχνει την σωστή ώρα κάθε ρολόι, άρα το σύνολο των ρολογιών θα δείχνει πεπερασμένο αριθμό φορών την σωστή ώρα (ανάλογα με τις περιόδους των ρολογιών η σωστή ώρα μπορεί ναι δειχθεί $199$ φορές, λιγότερο ή περισσότερο από $199$ φορές αλλά συγκεκριμένο αριθμό). Οι χρονικές στιγμές όμως είναι άπειρες, άρα άτοπο και μόνο αν υπάρχει ένα τουλάχιστον ρολόι που δείχνει συνεχώς σωστά την ώρα μας εξασφαλίζει αυτή την συνέχεια, την απειροσύνη των χρονικών στιγμών.
Το α νομίζω ότι η απάντηση του Ευθύμη το κάλυψε επαρκέστατα και απολύτως πειστικά. Μπράβο Ευθύμη!
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια το β θα προτείνω μια απλή, αλλά κάπως διαφορετική απόδειξη:
Σε οποιοδήποτε ρολόι, η στιγμιαία θέση του άκρου του λεπτοδείκτη (Α.Λ.) απέχει από οποιοδήποτε σταθερό σημείο, π.χ. το κέντρο του τραπεζιού (Κ.Τ.) περισσότερο (ή το ίδιο) από ό,τι η αντίστοιχη προβολή της στη ‘διάκεντρο’ ρολογιού – τραπεζιού (σχέση υποτείνουσας – καθέτου). Δεδομένου ότι η μέση θέση της προβολής αυτής, στη διάρκεια μιας περιόδου, είναι το κέντρο του ρολογιού, έπεται ότι η μέση απόσταση του Α.Λ. από το Κ.Τ. είναι μεγαλύτερη από τη σταθερή απόσταση των κέντρων ρολογιού – τραπεζιού. Αθροίζοντας για όλα τα ρολόγια, προκύπτει ότι το άθροισμα των μέσων αποστάσεων των Α.Λ. από το Κ.Τ. είναι μεγαλύτερο από το σταθερό άθροισμα των αποστάσεων των κέντρων τους από το Κ.Τ. Αυτό όμως θα ήταν αδύνατο, αν δεν υπήρχε στιγμή που η στιγμιαία απόσταση των Α.Λ. από το Κ.Τ. γίνεται μεγαλύτερη από την απόσταση των κέντρων των ρολογιών από το Κ.Τ. (αν η στιγμιαία τιμή μιας μεταβλητής είναι διαρκώς μικρότερη ή ίση από μια σταθερά, είναι αδύνατο η μέση τιμή της μεταβλητής να είναι μεγαλύτερη από αυτή τη σταθερά) ό.έ.δ.
Δηλαδή να συμπεράνω Θανάση, ότι το (β) δεν το κάλυψα επαρκώς και απόλυτα πειστικά?!... Προφανώς κάτι άλλο ήθελες να γράψεις.
ΔιαγραφήΕυθύμη, δεν έκανα κανένα σχόλιο για την απάντησή σου στο β, οπότε καλύτερα να μη συμπεράνεις αυτό που λες. Αρκέστηκα, στο συγκεκριμένο θέμα, να παραθέσω μια διαφορετική απόδειξη, η οποία θεωρώ ότι είναι εξ ίσου ενδιαφέρουσα με τη δική σου.
ΔιαγραφήΤο σχόλιό μου για την απάντησή σου στο α ήταν προϊόν ενθουσιασμού που ίσως παρερμήνευσες.
Θανάση το σχόλιο μου ήταν ελαφρώς χιουμοριστικό, εν πολλοίς γλωσσικό και σε κάθε περίπτωση εισαγωγικό για αυτά που γράφω τώρα και τα οποία εξ αρχής είχα σκοπό να γράψω σε δεύτερο χρόνο όμως, χωρίς αυτή την συνέχεια το σχόλιο μου είναι καραμπινάτη αγένεια [και δεν είμαι αγενής τουλάχιστον καραμπινάτα! :-)], στο αυθόρμητο και ενθουσιώδες “Tο $a$ νομίζω ότι η απάντηση του Ευθύμη το κάλυψε επαρκέστατα και απολύτως πειστικά. Μπράβο Ευθύμη!” για το οποίο και σε ευχαριστώ θερμότατα και από την πρώτη στιγμή που το διάβασα και όχι απλά τώρα και εκ των υστέρων.
ΔιαγραφήΣτην ουσία ήθελα να σχολιάσω γενικά, σε χρησιμοποίησα βέβαια και να με συμπαθάς γιαυτό, ότι πρέπει να είμαστε προσεκτικοί, όλοι μας φυσικά, όταν επιλέγουμε να εκθειάσουμε ένα πράγμα, ένα γεγονός, ένα πρόσωπο κλπ (εδώ το $a$), από ένα σύνολο δύο ή περισσοτέρων. Αντικειμενικά, διαρρέει στην ατμόσφαιρα μια μη καλή εικόνα για τα άλλα μέρη του συνόλου (εδώ το $ \beta $) και σαφώς δεν είχες τέτοια πρόθεση και δεν έβγαλα τέτοιο συμπέρασμα, (χιουμοριστική ερώτηση έκανα).
Και πάλι σε ευχαριστώ για το αρχικό σχόλιο και να με συγχωρείς που σε χρησιμοποίησα για να εκδηλώσω το χόμπυ μου στο παιχνίδι της γλώσσας, των λέξεων και των εννοιών!
Υ.Γ Κάποια στιγμή θέλω να γράψω για την λάθος τοποθέτηση των συμπλεκτικών συνδέσμων και ιδιαίτερα του “ΚΑΙ” [όχι δεν έχει καμία σχέση με εσένα Θανάση ή τα παραπάνω] και τι ψιλοχαμός μπορεί να γίνει από λάθος τοποθέτηση!
Εντάξει Ευθύμη, καμιά παρεξήγηγη και σε ευχαριστώ για τις διευκρινίσεις. Να προσθέσω μόνο ότι προσπαθώ συχνά να αυτοσυγκρατηθώ στις επευφημίες και τα 'μπράβο' προς τους άλλους φίλους σχολιαστές, μην τυχόν και εκληφθούν ως αντιποίηση αρχής απέναντι στον αναρτησιάρχη, ο οποίος και ex officio έχει αυτή τη δικαιοδοσία.
ΔιαγραφήΜπροστά στην 'απειροσύνη των χρονικών στιγμών' όμως έχασα τον έλεγχο! :-)
Συμπληρωματικά για το $ \beta )$ να προσθέσω δύο παρατηρήσεις πλέον των ζητουμένων από το θέμα που ετέθη.
ΑπάντησηΔιαγραφή$1)$ Η χρονική διάρκεια κατά την οποία το άθροισμα των αποστάσεων των κέντρων των ρολογιών από το $K$ είναι μικρότερο από το άθροισμα των αποστάσεων του $K$ από τα άκρα των λεπτοδεικτών είναι $\dfrac{1}{2}$ της ώρας και κάτι. Έστω ότι σε κάποια χρονική στιγμή κατά την διάρκεια μίας ώρας $ \Sigma A_{1}=\Sigma A_{2}$, ισχύει με βάσει το παραπάνω αναφερόμενο τρίγωνο $ \Sigma A_{1}=\Sigma A_{2}> A_{K}$, άρα το $ \Sigma A_{1}>A_{K}$ στο $ \dfrac{1}{2}$ του χρόνου μίας περιστροφής των λεπτοδεικτών ($60 min$), άρα $30$ λεπτά και επί πλέον τα δύο χρονικά διαστήματα από την θέση του ισοσκελούς τριγώνου ($ \Sigma A_{1}=\Sigma A_{2}$) μέχρι τις θέσεις όπου το $ \Sigma A_{1}= A_{K}$, ένθεν και ένθεν της διαμέσου του τριγώνου. Αν $ A_{0} $ ο μέσος όρος των γωνιών Α που σχηματίζονται όταν $ \Sigma A_{1}= A_{K}$ που θα συμβεί δύο φορές κατά την διάρκεια των $60$ λεπτών, μία αριστερά και μια δεξιά από την διάμεσο του τριγώνου.
Τότε ο χρόνος $Τ$ που ισχύει η ζητούμενη ιδιότητα πρέπει να είναι :
$T= \dfrac{180°+ \dfrac{ A_{0} }{2} }{360°} \times 60>30 min$.
Αυτό δεν το πολυέψαξα, μάλλον το “ένοιωσα” παρά το μελέτησα γεωμετρικά, γιαυτό το θέτω προς έλεγχο και διερεύνηση.
$2)$ Όπως πολύ εύκολα γίνεται αντιληπτό ότι παραπάνω δείξαμε για τους λεπτοδείκτες, ισχύει και αποδεικνύεται και για τους ωροδείκτες, αρκεί να πάρουμε δύο χρονικές στιγμές που διαφέρουν κατά $6$ ώρες καi τα υπόλοιπα αντιστοίχως ίδια με τους λεπτοδείκτες.
Καλημέρα και ευχαριστώ για το ενδιαφέρον και τα ωραία σχόλια.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕυθύμη για το α) η απόδειξή σου είναι εκτός από σωστή και εξαιρετικά όμορφα διατυπωμένη.
Για το β) ας μού επιτραπεί να επαναδιατυπώσω το ωραίο σου γεωμετρικό (διανυσματικό) επιχείρημα για χάριν της σαφήνειας ,καθώς θεωρώ πως λείπει ένα κάπως λεπτό σημείο "γενίκευσης" το οποίο ίσως δικαιολογημένα να θεώρησες προφανές, αλλά για κάθε ενδεχόμενο και κάθε ενδιαφερόμενο, το ξαναθέτω.
Ας αριθμήσουμε τα ρολόγια 1,2,3...,199 και ας θεωρήσουμε τα διανύσματα ΚΛi (t) τα διανύσματα δηλαδή για χρονική στιμή t από το Κ στα άκρα του λεπτοδείκτη του ρολογιού i :Λi.
Kαι έστω ΚO(i) τα διανύσματα από το κέντρο Κ του τραπεζιού στο κέντρο Ο(i) του i ρολογιού.Παρατηρούμε πως η ΚΛi(t) είναι περιοδική με περίοδο 60 λεπτά και η ΚΟi είναι σταθερή ως προς το χρόνο t. Ισχύει από το άθροισμα των διανυσμάτων:
KΛi(t) + KΛi(t+30)=2*KOi
Aθρίζοντας ως προς όλα τα ρολόγια ,έχουμε:
Σ(i=1 ώς 199)KOi = (1/2)Σ(1 ώς 199)(ΚΛi(t)+KΛi(t+30))
Eφαρμόζοντας -κατά τον τρόπο του Ευθύμη- την τριγωνική ανισότητα στις νόρμες(μέτρα) του διανυσματικού χώρου έχουμε:
Σ|ΚΟi| <ή ίσο (1/2) |ΚΛi(t)+KΛi(t+30)|
Καθώς όμως το μέτρο |ΚΛi(t)| είναι συνεχές,περιοδικό και θετικό υπάρχει οπωσδήποτε κάποια χρονική στιγμή t' μέσα στα 60 λεπτά κατά την οποία ισχύει:
Σ(ΚΛi(t'))=Σ(ΚΛi(t'+30). Σ'αυτή τη χρονική στιγμή t' λοιπόν ισχύει:
Σ|ΚΟi|<ή ίσο (1/2)Σ|2*ΚΛi(t')| που είναι το ζητούμενο.
Την ιδέα για το β) την πήρα από ένα παλιο πρόβλημα εδώ:
http://kolount.wordpress.com/2008/03/25/%CF%8E%CF%81%CE%B1-%CF%83%CE%B5-%CE%BB%CE%BF%CE%BD%CE%B4%CE%AF%CE%BD%CE%BF-%CE%BD%CE%AD%CE%B1-%CF%85%CF%8C%CF%81%CE%BA%CE%B7-%CE%B6%CF%85%CF%81%CE%AF%CF%87%CE%B7-%CF%84%CF%8C%CE%BA%CF%85%CE%BF/ όπου κάποιος μπορεί να δει ,εκτός από τις ωραίες προσεγγίσεις του σχολιαστή/λύτη υποψήφιου διδάκτορα Χρήστου Πελέκη, και κάποιες ωραίες γενικεύσεις. Ειδικά αυτή που προτείνει στο τέλος ο καθηγητής Μ.Κολουντζάκης για τυχαίες περιόδους Τ των ρολογιών.
Η δική μου ιδέα λύσης ,βασισμένη στον περιστερώνα ,είναι η εξής:
Aς φέρουμε όλες τις ευθείες από το κέντρο Κ του τραπεζιού στα κέντρα Οi (i=1 ως 199) των ρολογιών.
Ας φέρουμε και όλες τις διαμέτρους σε κάθε ρολόι ,κάθετες σε κάθε τέτοια ευθεία. Εχουμε χωρίσει όλα τα ρολάγια σε δύο ημικύκλια/μισά. Ένα μισό είναι κοντύτερα στο Κ από το άλλο ,σε κάθε ρολόι. Αρκεί λοιπόν να δειχτεί πως υπάρχει κάποια χρονική στιγμή κατά την οποία περισσότερα απο τα μισά ρολόγια έχουν λεπτοδείκτες που βρίσκονται στα μακρινά "μισά".
Από περιστερώνα (Αρχή του Ντίριχλετ) ένα από τα δύο σύνολα των "μισών" ,είτε το μακρινό είτε το κοντινό, έχει 100 ρολόγια.
Αν τα 100 είναι στα "μακρινά" είμαστε Ο.Κ.
Αν είναι στα κοντινά μισά, τότε απλώς περιμένουμε μισή ώρα (30 λεπτά) και έρχονται όλοι αυτοί οι λεπτοδέικτες στα μακρινά, δημιουργώντας την πλειοψηφία μακρινών αποστάσεων που θέλουμε. Q.E.D.