Κυριακή, 2 Φεβρουαρίου 2014

Η Κυκλοτομική ιστορία των κανονικών πολυγώνων (από τον Ευκλείδη στον Γκάους)

Πρόσφατα υπήρξε στο μπλογκ μια συζήτηση για την σχέση κατασκευασιμότητας κανονικών πολυγώνων και τριγωνομετρικών συναρτήσεων που μπορούν να εκφραστούν με ριζικά. Η σχετική συζήτηση στα σχόλια εδώ. Αναφέρθηκαν - απέξω, απέξω - τα κυκλοτομικά πολυώνυμα. Το παρόν άρθρο επιχειρεί να εμβαθύνει κάπως στο θέμα, συνδυάζοντας και μια ιστορική αναδρομή. Οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν την κατασκευή αρκετών κανονικών πολυγώνων. Όταν λέμε "κατασκευή" εννοούμε πάντα την ευκλείδειας νόρμας κατασκευή "με κανόνα (χωρίς σημάδια πάνω του) και διαβήτη" και (πολύ σημαντικό αυτό!) σε πεπερασμένο αριθμό διακριτών βημάτων.
Aυτές ήταν οι αυστηρά αποδεκτές κατασκευές. Μεταξύ των κανονικών πολυγώνων που ήταν γνωστά στους Έλληνες, ήταν τα αποτελούμενα από: $3, 4, 5, 6, 8, 10$ και $15$ πλευρές.
Από τα λεγόμενα "πρώτα" κανονικά πολύγωνα ,αυτά δηλαδή που ο αριθμός των πλευρών τους είναι πρώτος αριθμός, είχαν αναπτύξει μεθόδους για την κατασκευή του τριγώνου και του πενταγώνου.
Ο Ευκλείδης συμπεριέλαβε κάποιες κατασκευές στα "Στοιχεία" , και ήξερε πώς να διπλασιάσει τις πλευρές κάποιου δοθέντος πολυγώνου ή πώς να συνδυάσει τις πλευρές δύο πολυγώνων με την προϋπόθεση οι $2$ αριθμοί των πλευρών να είναι μεταξύ τους πρώτοι. Έτσι ας πούμε ,ένα κανονικό πεντάγωνο μπορεί να συνδυαστεί κατασκευαστικά με ένα ισόπλευρο τρίγωνο και να μας δώσει ένα κανονικό $15$γωνο. Επίσης, είναι προφανές πως, αφού μπορούμε εύκολα να διχοτομήσουμε τις κεντρικές γωνίες, η κατασκευή των πολυγώνων που προέρχονται από τα ήδη γνωστά, αν πολλαπλασιάσουμε των αριθμό των πλευρών τους με $2^ν$ ,είναι στοιχειώδης.
Συγκεντρώνοντας κάπως τα παραπάνω, τα κανονικά πολύγωνα, με πλευρές $Ν$, που μπορούσαν να κατασκευάσουν οι Έλληνες ήταν της μορφής:
$Ν=2^μ * 3^ν * 5^κ$ ,όπου $μ$ κάποιος θετικός ακέραιος και $ν$ και $κ$ ίσοι με $0$ ή $1$.
Η λίστα λοιπόν των "ελληνικών" κανονικών πολυγώνων επεκτείνεται ως ακολούθως:
$3,4,5,6,8,10,12,15,16,20,24,30,32,40,48,...$ αλλά τα μόνα περιττά πολύγωνα σ'αυτή τη λίστα είναι το τρίγωνο, το πεντάγωνο και τα δεκαπεντάγωνο.
Κάπου εδώ, η ιστορία πρέπει να κάνει ένα μεγάλο χρονικό άλμα,σχεδόν δύο χιλιάδων χρόνων, και να φθάσει στον Princeps Mathematicorum, τον μεγάλο Καρλ Φρίντριχ Γκάους (1777-1855) όταν ήταν σε ηλικία $19$ ετών.
Ο θρύλος και η μυθοπλασία ανακατεύονται συχνά με τα ιστορικά γεγονότα , σε πολλά θέματα που αφορούν τον Γκάους ,και ο θρύλος λέει πως σε αυτή τη νεαρή ηλικία ήταν ακόμη αναποφάσιστος αν έπρεπε να ακολουθήσει ανθρωπιστική-γλωσσολογική κατεύθυνση ή μαθηματική στις σπουδές του και πως το πρόβλημα που έλυσε -και έχει αμεσότατη σχέση με το θέμα μας- ήταν αυτό που τον οδήγησε να πάρει (ευτυχώς!) την απόφαση που όλοι ξέρουμε πως πήρε.
Όπως και νά'χει, είναι αναμφισβήτητο γεγονός πως την εποχή του Γκάους το ενδιαφέρον για τα κανονικά πολύγωνα είχε αναζωπυρωθεί και πως αυτός ήταν που το $1796$ πέτυχε την κατασκευή του κανονικού δεκαεπταγώνου για πρώτη φορά στην ιστορία.
Καταρχάς και καταρχήν, δεν είναι εννοιολογικά δύσκολο να υπολογίσουμε την πλευρά $\alpha _{ \nu }$ ενός κανονικού πολυγώνου $ν$ πλευρών ,αφού υπάρχει η ταυτότητα:
$\frac{  \alpha _{ \nu } }{2} =r \sin  \frac{2 \pi }{ \frac{ \nu }{2} }$, άρα:
  $ \alpha _{ \nu } =2r \sin  \ \frac{ \pi }{ \nu }$  που μας επιτρέπει να εργαστούμε με τριγωνομετρικές συναρτήσεις ,όπως το ημίτονο (εργαλείο που δεν είχαν οι Έλληνες!).
Ο Γκάους πέτυχε να αποδείξει πως η λύση της κυκλοτομικής εξίσωσης: $x^{17}=1 $ μπορεί να αναλυθεί σε μια ακολουθία τετραγωνικών "ριζικών εντός ριζικών" (nested quadratic equations).
Δημοσίευσε την ανακάλυψή του αυτή, $5$ χρόνια αργότερα στο Disquisitiones Arithmeticae όπου και γενίκευσε τη διαδικασία, δείχνοντας πως ένα πρώτο κανονικό πολύγωνο είναι κατασκευάσιμο όταν είναι της μορφής  $p=2^k -1$ με $k$ κάποια δύναμη του $2$. Αυτή η συνθήκη εξασφαλίζει πως υπάρχει ακολουθία από nested quadratic equations για την κατασκευή.
Ταύτισε δηλαδή την κατασκευή ενός κανονικού πολυγώνου $n$ πλευρών με την παράσταση στο μιγαδικό επίπεδο των λύσεων της κυκλοτομικής πολυωνυμικής εξίσωσης: $x^n -1$.
Γενικά: $x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x^{2} +x+1=0$
Στο σχήμα φαίνεται η περίπτωση  για $n=5$ που δίνει το κανονικό πεντάγωνο.
Oι μπλε κουκίδες αναπαριστούν όλες τις μιγαδικές ρίζες του $x^5 -1$.
Παρατηρήστε ότι γενικά: $x^n -1=(x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} +  \cdots +x+1)$
Για να κατανοήσουμε τη λύση του Gauss, είναι απαραίτητο να ορίσουμε τους αριθμούς Fermat. (Φερμά).  Ένας αριθμός $F_{p}$ ονομάζεται αριθμός Φερμά  αν είναι της μορφής:
 $F_{p} = 2^{ 2^{p} } +1$
Oι αριθμοί Fermat μπορεί να είναι είτε πρώτοι, είτε σύνθετοι. Ο ίδιος ο Φερμά που τους εισήγαγε είχε εικάσει λανθασμένα πως όλοι είναι πρώτοι. Ο Euler (Όϋλερ) είκασε διαφορετικά,και είχε δίκιο. Και πόσοι είναι  οι πρώτοι αριθμοί Fermat; Kαθόλου απλό ερώτημα!
Ας κατασκευάσουμε τη λίστα των πρώτων απ'αυτούς:
$F_{0} = 2^{ 2^{0} } +1 = 3$
$F_{1} = 2^{ 2^{1} } +1 = 5$
$F_{2} = 2^{ 2^{2} } +1 = 17$
$F_{3} = 2^{ 2^{3} } +1 = 257$
$F_{4} = 2^{ 2^{4} } +1 = 65.537$
$F_{5} = 2^{ 2^{5} } +1 = 4.294.967.297 =641 * 6.700.417$
Bλέπουμε πως οι $5$ πρώτοι $F$ είναι πρώτοι αριθμοί, όχι όμως και ο $F_{5}$ που είναι σύνθετος, ακριβώς όπως είχε προβλέψει ο Όϋλερ!
Αν κάποιος ίσως απορεί για το πώς ένας κολοσός σαν τον Φερμά δεν μπόρεσε να διαπιστώσει την συνθετότητα του $F_{5}$, ας μην ξεχνούμε πως δεν υπήρχαν τότε υπολογιστικά εργαλεία και Γουλφραμάλφες ,όπως σήμερα, που ξεπετάνε τέτοιες παραγοντοποιήσεις σε κλάσματα δευτερολέπτου. Η αλήθεια είναι πως η παραγοντοποίηση του $F_{5}$ με χαρτί και μολύβι είναι από μόνη της ένα αξιέπαινο επίτευγμα. Ο επόμενος αριθμός Fermat, ο $F_{6}$, παραγοντοποιήθηκε το 1880 από τον Παριζιάνο Φορτουνέ Λαντρύ, ο οποίος αφιέρωσε μεγάλο μέρος της ζωής του στο εγχείρημα αυτό!
Ο $F_{6}$ είναι: $27417767280421310721$
Δεν γνωρίζουμε αν υπάρχουν άλλοι πρώτοι αριθμοί Fermat μετά από τον $F_{4}$, καθώς δεν έχει βρεθεί κανένας. Oι σύγχρονοι μαθηματικοί έχουν ομολογουμένως μικρές ελπίδες ότι θα βρεθούν άλλοι, και η γενική πεποίθηση, σε περίπτωση που βρεθούν κι άλλοι, είναι πως θα είναι πεπερασμένου πλήθους.
Ο Γκάους λοιπόν απέδειξε το παρακάτω θεώρημα:
"Ένα κανονικό πολύγωνο $n$ πλευρών μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη, εάν και μόνο εάν το $n$ είναι γινόμενο του $2^k$ με το $1$ ή με ένα σύνολο διακριτών πρώτων του Φερμά"
Ή, σε σημειογραφική γλώσσα: $n=2^m *p1*p2*...*pk$  για $m$ μεγαλύτερο ή ίσο με 0 και $p_{i}$  διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί του Φερμά ή μονάδες.
Εδώ , πρέπει να σημειωθεί ένα γεγονός που δεν είναι ευρέως γνωστό. Η αρχική απόδειξη του Γκάους αφορά μόνο την ικανή συνθήκη του θεωρήματος. Ο ίδιος είκασε και την αναγκαία, αλλά αυτό δεν αποδείχτηκε παρά μόνον το $1837$ από τον μεγάλο Γάλλο μαθηματικό Pierre Wantzel. To θέμα του "αναγκαίου" δεν είναι καθόλου τετριμμένο ,γιατί απαιτεί μια απόδειξη του ότι κανονικά πολύγωνα της μορφής $p^k$ με $p$ πρώτο, δεν μπορούν να κατασκευαστούν για $k>1$. Aυτό το βλέπει κανείς εύκολα για $n=9$ γιατί η γωνία των $40$μοιρών δεν μπορεί να κατασκευαστεί.
Το αποφασιστικό γεγονός για να είναι ένα πρώτο κανονικό πολύγωνο κατασκευάσιμο είναι η μη παραγoντοποιήσιμη -υποβιβάσιμη εξίσωση (irreducible equation) (π.χ. το $x^2 -1$ αφού ισούται με το γινόμενο κατωτέρας τάξης: $(x-1)(x+1)$ δεν είναι irreducible ,ενώ το $x^2 +1$ είναι) για το :$ \cos (2 \pi /p)+i \sin (2 \pi /p)$ να είναι βαθμού $φ(p)=p-1$ και της μορφής $2^k$. Δεν είναι σκόπιμο να αναλυθεί επακριβώς, αλλά μπορεί να αποδειχτεί ,αντικαθιστώντας το $p$ με το $p^m$ ,πως η irreducible εξίσωση έχει βαθμό $φ(p^m)$ που είναι $2^{(m-1)} *(p-1)$, και αυτό δεν μπορεί ποτέ να είναι της μορφής $2^k$ για $m>1$.
Γι'αυτόν το λόγο, μέχρι να ανακαλυφθούν (αν ανακαλυφθούν!) νέοι πρώτοι Fermat ,υπάρχουν $5$ μόνο πρώτα κανονικά πολύγωνα που μπορούν να κατασκευαστούν!
Το θεώρημα του Γκάους λοιπόν κάνει κατασκευάσιμα τα πολύγωνα με $n=3,4,5,6,8,10,12,15,16,17,24,...$ και ας δούμε οπωσδήποτε την έκφραση που βρήκε ο Γκάους για το κανονικό δεκαεπτάγωνο:
$16 \cos  \frac{2 \pi }{17} =-1+ \sqrt{17}+ \sqrt{34-2 \sqrt{17} }+2 \sqrt{17+3 \sqrt{17}- \sqrt{34-2 \sqrt{17} } -2 \sqrt{34+2 \sqrt{17}}}$  
 H πραγματική κατασκευή του δεκαεπταγώνου αποδείχτηκε αρκετά επίπονη αλλά όχι ακατόρθωτη για τον σύγχρονο του Γκάους , Johannes Erchinger (Γιοχάνες Έρχινγκερ) . Για τον ίδιο το μεγάλο Γερμανό μαθηματικό, του οποίου ένα μικρό κλάσμα του βιογραφικού του και του έργου του θα αποτελούσε όνειρο πολλών επιστημόνων, το αποτέλεσμά του για τα κανονικά πολύγωνα ήταν σίγουρα ένα ορόσημο και κόσμημα στη ζωή του. Αυτό το υποθέτουμε , με αρκετή ασφάλεια μάλλον, από το γεγονός πως ζήτησε να χαραχθεί το κανονικό $17$ γωνο στον τάφο του, αποστολή που αποδείχτηκε δύσκολη έως ανέφικτη  για τους τεχνίτες!
Οι επόμενοι αριθμοί Φερμά, όπως ήδη είδαμε, οδηγούν σε κατασκευή τερατωδών πολυγώνων με $257$ και $65.537$ πλευρές, αντίστοιχα. Το $1832$ ο Friedrich Julius Richelot (1808-1875) εξέδωσε τον πρώτο "οδηγό κατασκευής" ενός πολυγώνου  $257$ πλευρών με κανόνα και διαβήτη.
Ο τίτλος του άρθρου στα Λατινικά είναι μακρινάρι αντάξιο του πλήθους των πλευρών! :
"De resolutione algebraica aequationis $x^{257} =1$ ,sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes $257$ inter se aequales commentatio coronata" Mετ. "Περί της επίλυσης της αλγεβρικής εξίσωσης $x^{257} =1$ , ή περί της κατάτμησης του κύκλου μέσω διαδοχικών διχοτομήσεων επτά γωνιών σε 257 ίσα τμήματα, συνοδευόμενο από σχόλια"
Η ιστορία μας οφείλει να κλείσει με αναφορά στον Johann Gustav Hermes (1846-1912) ο οποίος αφιέρωσε $10$ ολόκληρα χρόνια για να σχεδιάσει βήμα προς βήμα την κατασκευή του υπερτέρατος κανονικού πολυγώνου που έχει $65.537$ πλευρές. Η τιτάνια προσπάθειά του ολοκληρώθηκε το 1894, αλλά τελικά δεν εξέδωσε το πλέον των διακοσίων σελίδων χειρόγραφο. Ευτυχώς όμως το χειρόγραφο κατατέθηκε και διασώθηκε από το Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν στη Γερμανία, όπου μπορεί να απευθυνθεί όποιος ενδιαφέρεται για το θέμα. Προσωπικά, είχα , πριν κάμποσα χρόνια, την χαρά να θαυμάσω από κοντά το πολύγωνο. Με την πρώτη ,και με τη δεύτερη ίσως... ματιά, μοιάζει με τέλειο κύκλο! Στο διαδίκτυο μπορεί κάποιος να βρει αρκετές αναφορές σχετικά. Υπάρχουν κάποιοι, όπως ο γνωστός John Conway, που αμφισβητούν και δεν δέχονται την απόδειξη.
Από καθαρά "τεχνική" σκοπιά , το επίτευγμα είναι οπωσδήποτε θεωρητικά δυνατό.
Το $\cos  \frac{ \pi }{65.537}$ είναι αλγεβρικός αριθμός, αλλά για να βρούμε το πολυώνυμο του οποίου είναι ρίζα πρέπει να κατασκευάσουμε μία εξίσωση τάξης $32.768$ ! Mπρρρ...
Γιώργος Ριζόπουλος
Λεμεσός, Φλεβάρης 2014

8 σχόλια:

  1. Το κείμενο αναρτήθηκε εκ παραδρομής, πριν διορθωθούν κάποιες τεχνικές αδυναμίες. Ελπίζω τώρα να είναι εντάξει ,και ζητώ συγγνώμη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Αγαπητέ Γιώργο, δύσκολα θα βρισκόταν καταλληλότερος από εσένα, από πλευράς γνώσης και κατοχής (ιστορικής και ουσιαστικής) του αντικειμένου, να το αποδώσει πληρέστερα, ακριβέστερα και γλαφυρότερα!!

    Καθώς μάλιστα διάβαζα το άρθρο σου και το σκεφτόμουνα, ανακάλυψα και μια απροσδόκητη συγγένειά σου με τα κυκλοτομικά πολυώνυμα και τα κανονικά πολύγωνα: Ριζόπουλος εσύ, ριζοπούλια (του 1) αυτά! :-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Θανάση, σ'ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια και χαίρομαι που σού άρεσε! Δάφνες πληρότητας πάντως για το θέμα,δεν διεκδικώ. Μια γενική προσέγγιση επιχείρησα με κάποια βαρύτητα στα ιστορικά δεδομένα. Το θέμα είναι πολύ ευρύ, δεν έκανα καμία αναφορά στα cyclotomic fields, τις ομάδες Γκαλουά, τις ελειπτικές καμπύλες ,και άλλα που συνδέονται και επεκτείνουν το θέμα,σε μικρό ή μεγάλο βαθμό.
      Απλώς, ελπίζω να έδωσα κάποια ερεθίσματα σε κάποιους να το ψάξουν παραπέρα.

      Διαγραφή
  3. Σχήμα λόγου φυσικά το ‘πληρέστερα’, όταν μιλάμε για ένα σύντομο άρθρο, αλλά για την κυριολεξία, το αντικαθιστώ με το ‘περιεκτικότερα’.

    Πάντως, με το άρθρο σου γίνεται απολύτως αντιληπτό ότι τα μαθηματικά είναι ένα αχανές και αδιαίρετο πεδίο γνώσης. Βλέπουμε πώς σε ένα απλό στη διατύπωσή του γεωμετρικό πρόβλημα ενυπάρχει η ‘ολότητα’ σχεδόν των μαθηματικών που ξέρουμε (γεωμετρία, άλγεβρα, τριγωνομετρία, οι πρώτοι, οι Φερμά, οι μιγαδικοί, οι ομάδες ..) και ποιος ξέρει και τι άλλο που δεν ξέρουμε ακόμα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Εγώ θέλω να ρωτήσω το εξής. Η απόδειξη του Γκάους μπορεί να παρουσιαστεί με σαφή και απλό τρόπο σε ένα βιβλίο μαθηματικών της Γ' Λυκείου;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Κοίτα, η ακριβής απόδειξη είναι κάπως υπερ το δέον τεχνική και μάλλον ξεφεύγει από την ..."ύλη". Πάντως γενικά, δεν θα ήταν καθόλου κακή ιδέα μάλλον, να αντικαθισταθούν κάποιες εκατοντάδες σελίδες ηλίθιων και παντελώς άχρηστων "εφαρμογών" (κυρίως γεωμετρικές και αλγεβρικές "ασκήσεις" -τρικ, παντελώς ηλίθιες και χωρίς κανένα βαθύτερο μαθηματικό ή γενικά επιστημονικό ενδιαφέρον , από λίγα ΑΛΗΘΙΝΑ Μαθηματικά!
      Καθόλου άσχημα δεν θα ήταν , ούτε τα παιδιά είναι ηλίθια ώστε να μην μπορούν να αντιμετωπίσουν τη γνώση πως να αντιμετωπίσουν τη $x^{17}-1=0$ και το πως η $17η$ root of unity δίνεται -βάσει του (υποθέτω) γνωστού θεωρήματος του De Moivre :
      $Pk=(cos2πk/17 + i*sin2πk/17)$ όπου κ=0,1,2,...,16.
      Καθόλου "εκτός ύλης " και "νοητικής ικανότητας" των παιδιών επίσης, δεν είναι φαντάζομαι η διαπίστωση (αρκεί να δούν ένα σχηματάκι ενός 17γώνου) της γεωμετρικής συμμετρίας των μιγαδικών ριζών και πως τα συνημίτονα P1 kai P16 είναι ίσα, όπως και τα αντίστοιχα των P3 kai P14 κ.λ.π. Επίσης ,φαντάζομαι πως είναι "εντός ύλης" πως το άθροισμα των roots of unity είναι 0
      και η βασική τριγωνομετρική ταυτότητα για τη συνάρτηση του συνημιτόνου:
      $cos(α+β)+cos(α-β)=...=2cosacosβ$ .
      Μέχρι εκεί (για να παίρνουν έστω μια μυρωδιά) θα αρκούσε. Ή εναλλακτικα θα αρκούσε να μάθουν τα αντίστοιχα για το 5γωνο ας πούμε,που είναι πιο βατά και πιο "λίγα".

      Παρεμπιπτόντως , ίσως να έπρεπε κιόλας να το έχω κάνει στο άρθρο μιας και έβαλα και το σχήμα, ιδού η αντίστοιχη διαδικασία για το 5γωνο και $θ=2π/5$:
      Ονομάζουμε τις ρίζες (από την 1η στο +1) και αριστερόστροφα: P0, P1, P2,P3, P4
      Όπως και για το 17γωνο έχουμε:
      $x1=cosθ$ , $x2=cos2θ$ , κ.λ.π. με $θ=2π/5$
      $x0+x1+x2+x3+x4=0$ και x1=x4 και x2=x3, άρ α
      $x1+x2=-1/2$
      Aπό την ταυτότητα του συν. πιο πάνω, έχουμε:
      x1+x2=2x1x2
      Aφού x1+x2=-1/2 , x1*x2=-1/4
      Oι x1 και x2 λοιπόν είναι ρίζες της τετραγωνικής εξισ.:
      x^2 +(1/2)x -1/4 =0 ή $4x^2 +2x -1=0$
      Ο τύπος της δευτεροβάθμιας (επίσης γνωστή "θεωρία" νομίζω...) δίνει:
      x=(-2 +- sqrt(2^2 -4*4*(-1))/(2*4)=(-2 +- sqrt20)/8=
      = (-1+-sqrt5)/4
      Aφου x1>x2 έχουμε: x1=(-1+ρίζα5)/4 και
      x2=(-1-ριζα5)/4
      Αυτό μας δίνει πως:
      $cos(2π/5)=cos(8π/5)=(-1+- sqrt5)/4$
      και $cos(4π/5)=cos(6π/5)=(-1-sqrt5)/4$
      Tέλος!

      Διαγραφή
  5. Εννοώ την απόδειξη για τη γενική περίπτωση, όχι για μεμονωμένες, αλλά απ' ότι κατάλαβα, μάλλον αυτή υπερβαίνει το επίπεδο των μαθητών. Πάντως στο βιβλίο μαθηματικών της Γ' Λυκείου που είχα και στο κεφάλαιο των μιγαδικών υπήρχε μια άσκηση που από την εξίσωση z^5=1 κατέληγε στον υπολογισμό του cos(2π/5).

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Για το ποιος είναι ο λόγος που η κατασκευασιμότητα ενός αριθμού έχει άμεση σχέση με τις τετραγωνικές (ή γενικά άρτιου βαθμού) ρίζες , μπορεί κάποιος να διαβάσει κι αυτή την παλιότερη ανάρτηση:
    http://eisatopon.blogspot.com/2013/07/blog-post_23.html

    ΑπάντησηΔιαγραφή