Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄Λυκείου: Προτεινόμενο ΘΕΜΑ Δ από το study4exams

17. Δίνεται η συνάρτηση 

$f(x)=(x-{\displaystyle \frac{1}{x}})\ln x$, $x>0$.

Δ1) Να αποδείξετε ότι ισχύει: $f\circ h=f$, όπου $h(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$, $x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$. 

Δ2) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $(0,1]$ και γνησίως αύξουσα στο διάστημα $[1,+\mathrm{\infty })$, και στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών της. 

Δ3) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=1$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $(0,1)$. 

Δ4) Να αποδείξετε ότι η μοναδική ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ είναι η κατακόρυφη ευθεία με εξίσωση $x=0$. 

Δ5) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι κυρτή στο ανοικτό διάστημα $(0,+\mathrm{\infty })$. 

Δ6) Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ με συνεχή παράγωγο $g^{\prime }$ για τις οποίες ισχύουν: 

•  $g(0)=g^{\prime }(0)=1$, 
• $g(x)g^{\prime }(x)\ne 0$, για κάθε $x\in \mathbb{R}$.

Να αποδείξετε ότι για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει: 

$f^{\prime }(g(\eta \mu (x^2+1)))<f^{\prime }(g(x^2+1))$.