Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [4]

 Δημήτρη Σπαθάρα  

Δίνεται η συνάρτηση 

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\ln x+x^2}{x^2}}& \text{αν }0<x\le 1\\ {\displaystyle \frac{x\ln x}{x-1}}& \text{αν }x>1\end{array}$  

Δ1) Να δείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $(0,+\mathrm{\infty })$ και να βρείτε ασύμπτωτες της γραφικής της παράστασης. 

Δ2) Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της $f$ και να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία. 

Δ3) Να δείξετε ότι: 

α) η εξίσωση $f(x)=0$ έχει μοναδική ρίζα $x_0$, η οποία ανήκει στο διάστημα $(0,1)$ και 

β) το εμβαδόν του χωρίου $\mathrm{\Omega }$ που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $f$, τον άξονα $x^{\prime }x$ και τις ευθείες με εξισώσεις $x=1$ και $x=x_0$, όπου $x_0$ η μοναδική ρίζα της εξίσωσης $f(x)=0$, είναι 

$E(\mathrm{\Omega })={\displaystyle \frac{1}{x_0}}-2x_0$. 

Δ4) Αν $F$ είναι μια παράγουσα συνάρτηση της $f$, τότε για κάθε $x\in (1,+\mathrm{\infty })$ να δείξετε ότι ισχύει 

$(\sqrt{x}+1)F(\sqrt{x})<\sqrt{x}F(1)+F(x)$.