Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [2]

Έστω $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ μια συνεχής συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα $y$ στο σημείο με τεταγμένη 1 και τα μόνα κοινά σημεία της με τον άξονα $x$ έχουν τετμημένες -2 και 4. Επιπλέον η $f$ είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα $[0,+\mathrm{\infty })$.

(α) Να βρείτε το πρόσημο του αριθμού $f(-{\displaystyle \frac{7}{4}})$ και τη μονοτονία της $f$ στο διάστημα $[0,+\mathrm{\infty })$. 

(β) Να υπολογίσετε το όριο: $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(-0,1)x^3+f(1)x^2+f(2)}{f(-1)f(5)x^2+f(0)}$$

(γ) Να λύσετε την εξίσωση $$f(e^x)+f(e^{3x})=f(e^{2x})+f(e^{4x})$$ (δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει $x_0\in (-2,4)$ τέτοιο, ώστε $f(x_0)=\sqrt[4]{f^3(-0,1)f(2)}$

(ε) Αν η $f$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και για κάθε $x\in (0,4)$ ισχύει $(f(x)-1)f^{″}(x)<0$ να αποδείξετε ότι $${\int }_0^{4}f(x)dx<2.$$