Μαθηματικά 1ης Δέσμης 1998 - Τα δυσκολότερα θέματα όλων των εποχών!

Τα θέματα της χρονιάς αυτής ήταν όλα ασκήσεις εκτός από 1α)i) που ήταν απόδειξη θεωρήματος και η ύλη των θεμάτων περιελάμβανε εκτός της σημερινής και ΠΙΝΑΚΕΣ - ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ και το Ολοκλήρωμα με μεταβλητό άκρο! 

Αν συνυπολογίσουμε και την κατοχύρωση βαθμολογίας που υπήρχε τότε, που σημαίνει ότι οι υποψήφιοι είχαν να συναγωνισθούν και τους υποψηφίους εκείνους που κατοχύρωσαν καλές βαθμολογίες, ο αγώνας των παιδιών ήταν ένας άθλος !🏅 

Συγκρίνετε με το σήμερα ...😔

- ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ -

ΘΕΜΑ 1ο

α) i) Αν ο μιγαδικός αριθμός $z_0$ είναι ρίζα της πολυωνυμικής εξίσωσης $${\alpha }_{\nu }{x}^{\nu }+{\alpha }_{\nu -1}{x}^{\nu -1}+\cdots +{\alpha }_{1}x+{\alpha }_0=0$$ με ${\alpha }_0,{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_{\nu }$ πραγματικούς αριθμούς και ${\alpha }_{\nu }\ne 0$, να αποδείξετε ότι και ο συζυγής του $\overline{z_0}$ είναι ρίζα της εξίσωσης αυτής. 

ii) Αν η πολυωνυμική εξίσωση $x^2+\beta x+\gamma =0$ όπου $\beta ,\gamma$ πραγματικοί αριθμοί έχει ως ρίζα το μιγαδικό $2-3i$, να βρείτε τα $\beta ,\gamma$ καθώς και την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $$f(x)=x^2+\beta x+\gamma$$ στο σημείο $A(1,f(1))$ όταν το $x$ μεταβάλλεται στο σύνολο των πραγματικών αριθμών $\mathbb{R}$. 

β) Η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ικανοποιεί τη σχέση $$f(f(x))+f^3(x)=2x+3,x\in \mathbb{R}$$ 

i) Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι ''1-1''. 

ii) Να λύσετε την εξίσωση $$f(2x^3+x)=f(4-x),x\in \mathbb{R}.$$

ΘΕΜΑ 2ο

α) Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός $z_0$ με $\text{Im}(z_0)<999$ και το σύνολο $A$ των μιγαδικών αριθμών $z$ με $z\ne z_0$ και $z\ne \overline{z_0}$ που ικανοποιούν τη σχέση $$\frac{1}{|z-z_0|}+\frac{1}{|z-\overline{z_0}|}=\frac{1998}{|z-z_0||z-\overline{z_0}|}$$ Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή απόσταση που μπορούν να απέχουν μεταξύ τους οι εικόνες δύο μιγαδικών αριθμών του συνόλου $A$. Ποιοι είναι αυτοί οι μιγαδικοί αριθμοί; Να εξετάσετε την περίπτωση $z_0=\overline{z_0}$. 

β) Ένας γεωργός προσθέτει $x$ μονάδες λιπάσματος σε μια αγροτική καλλιέργεια και συλλέγει $g(x)$ μονάδες του παραγόμενου προϊόντος. Αν $$g(x)=M_0+M(1-e^{-\mu x}),x\ge 0$$ όπου $M_0,M,\mu$ είναι θετικές σταθερές, να εκφράσετε το ρυθμό μεταβολής του παραγόμενου προϊόντος ως συνάρτηση της $g(x)$. Ποια είναι η σημασία της σταθεράς $M_0$; 

ΘΕΜΑ 3ο 

α) Δίνεται ο $\nu \times \nu$ πίνακας $A$ με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς για τον οποίο ισχύει: $$A^2-2(\lambda -2{)}^{2}A+\mathbb{I}=\mathbb{O}$$ όπου $\mathbb{I}$ είναι ο μοναδιαίος $\nu \times \nu$ πίνακας και $\lambda$ πραγματικός αριθμός. Να δείξετε ότι ο πίνακας $A+\mathbb{I}$ είναι αντιστρέψιμος για κάθε $\lambda$. 

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $$(x+1)|A+x\mathbb{I}|+(x-1)|A-x\mathbb{I}|=1-x^2$$ όπου $A$ είναι ο πίνακας του ερωτήματος (α) και $x$ πραγματικός αριθμός έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ανοικτό διάστημα $(-1,1)$. Με $|A+x\mathbb{I}|,|A-x\mathbb{I}|$ συμβολίζουμε την ορίζουσα του πίνακα $A+x\mathbb{I}$ και $A-x\mathbb{I}$ αντίστοιχα. 

γ) Δίνεται ο δειγματικός χώρος $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ με πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων που ικανοποιούν τις σχέσεις $$2P(1)=2P(3)=2P(5)=2P(7)=3P(2)=3P(4)=3P(6)=3P(8)$$ και το ενδεχόμενο $B=\{\lambda \in \mathrm{\Omega }\mid AX=X\}$ έχει τουλάχιστον δυο λύσεις για τον πίνακα $A$ και άγνωστο $X$. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου $B$. 

δ) Δίνεται το τριώνυμο $f(x)=x^2+\gamma x+4$ όπου ο συντελεστής $\gamma$ επιλέγεται τυχαία από το δειγματικό χώρο $\mathrm{\Omega }$ του ερωτήματος (γ). Αν $$\mathrm{\Gamma }=\{\gamma \in \mathrm{\Omega }\mid \text{η εξίσωση}f(x)=0\text{έχει πραγματικές ρίζες}\}$$ Να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου $\mathrm{\Gamma }$ και να δείξετε ότι τα ενδεχόμενα $B$ του ερωτήματος (γ) και $\mathrm{\Gamma }$ είναι ασυμβίβαστα. 

ΘΕΜΑ 4ο.

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν $f(x)>0,x>0$ και $$f^{\prime }(x)+2xf(x)=0,x>0$$ και η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο $A(1,1)$. 

α) Να δείξετε ότι η παράγωγος της $f$ είναι συνεχής στο ανοικτό διάστημα $(0,+\mathrm{\infty })$ και να βρείτε τη συνάρτηση $f$. 

β) Να δείξετε ότι $$\frac{x-1}{2x^2}f(x)<{\int }_1^x\frac{f(t)}{2t^2}dt<\frac{x-1}{2},x>1.$$ γ) Να βρείτε τη συνάρτηση $$F(x)={\int }_1^x(1+\frac{1}{2t^2})f(t)dt,x>1.$$ δ) Να αποδείξετε ότι $$2e{\int }_1^x{e}^{-t^2}dt<1,\text{για κάθε}x>1.$$