Η Συνάρτηση Weierstrass: Μια Επανάσταση στην Μαθηματική Ανάλυση

Τον δέκατο ένατο αιώνα, πολλοί μαθηματικοί είχαν την πεποίθηση ότι μια συνεχής συνάρτηση πρέπει να είναι διαφορίσιμη σε ένα μεγάλο σύνολο σημείων, θεωρώντας ότι η «ομαλή» φύση της συνέχειας συνεπάγεται την ύπαρξη παραγώγου σχεδόν παντού.

 

Αυτή η άποψη, που προερχόταν από την εμπειρία με γνωστές συναρτήσεις όπως οι πολυωνυμικές ή οι τριγωνομετρικές, θεωρούνταν σχεδόν αυτονόητη.

Όμως, το 1872, ο Karl Weierstrass συγκλόνισε τον μαθηματικό κόσμο δίνοντας το πρώτο δημοσιευμένο παράδειγμα μιας συνεχούς συνάρτησης που δεν είναι πουθενά διαφορίσιμη, γνωστής σήμερα ως συνάρτηση Weierstrass.

Η συνάρτηση αυτή ορίζεται ως ένα άπειρο άθροισμα συνημιτονοειδών όρων, της μορφής $$W(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}^n\cos (b^n\pi x),$$ όπου οι παράμετροι $a$ και $b$ επιλέγονται προσεκτικά: $0<a<1$ καθορίζει το πλάτος (amplitude) κάθε όρου, που μειώνεται γεωμετρικά, ενώ $b$, ένας θετικός περιττός ακέραιος, ελέγχει τη συχνότητα, που αυξάνεται εκθετικά.

Με την κατάλληλη επιλογή ώστε $ab>1+{\displaystyle \frac{3}{2}}\pi$, η συνάρτηση παραμένει συνεχής αλλά αποκτά τόσο έντονες ταλαντώσεις σε κάθε κλίμακα που δεν διαθέτει παράγωγο σε κανένα σημείο.

Αυτή η ανακάλυψη δεν ήταν απλώς ένα μαθηματικό παράδοξο· ανέτρεψε τις βασικές αντιλήψεις για τη σχέση συνέχειας και διαφορισιμότητας, ανοίγοντας νέους δρόμους στην ανάλυση, όπως η θεωρία fractal, και αποδεικνύοντας ότι η μαθηματική φύση μπορεί να κρύβει εκπλήξεις πέρα από τη διαισθητική κατανόηση.