Ο Edward Mann Langley, ιδρυτής του Mathematical Gazette, διατύπωσε το εξής γεωμετρικό πρόβλημα το :
Δίνεται ένα ισοσκελές τρίγωνο με γωνίες . Η ευθεία , σχηματίζοντας γωνία με την πλευρά , τέμνει την πλευρά στο σημείο .
Να αποδειχθεί ότι η γωνία .
💡 Παρατήρηση: Στην αρχική διατύπωση του Langley δεν γίνεται αναφορά στο σημείο DDD. Ενδέχεται να είναι το σημείο τομής των και .
Μια κλασική λύση (JW Mercer, 1923):
1️⃣ Σχεδιάζουμε την ευθεία , η οποία σχηματίζει γωνία με την πλευρά και τέμνει την στο σημείο .
2️⃣ Η γωνία είναι , ενώ οι γωνίες και είναι και οι δύο , επομένως το τμήμα είναι ίσο με το , δηλαδή .
3️⃣ Οι γωνίες και είναι και οι δύο , άρα και το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
4️⃣ Επειδή οι γωνίες και είναι και οι δύο , προκύπτει ότι .
5️⃣ Η γωνία είναι , οπότε η γωνία είναι και τελικά η γωνία είναι . ✅
Το Langley's Adventitious Angles είναι ένα από τα πιο διάσημα προβλήματα στοιχειώδους γεωμετρίας, καθώς η λύση του προκύπτει με εκπληκτικό τρόπο μέσω συμμετρίας και τριγωνομετρικών σχέσεων.