Click to Translate Whole Page to Read and Solve

Τετάρτη 12 Φεβρουαρίου 2025

Langley's Adventitious Angles

Ο Edward Mann Langley, ιδρυτής του Mathematical Gazette, διατύπωσε το εξής γεωμετρικό πρόβλημα το 1922:
Δίνεται ένα ισοσκελές τρίγωνο ABC με γωνίες B=C=80. Η ευθεία CF, σχηματίζοντας γωνία 30 με την πλευρά AC, τέμνει την πλευρά AB στο σημείο F.
Η ευθεία BE, σχηματίζοντας γωνία 20 με την πλευρά AB, τέμνει την πλευρά AC στο σημείο E.
Να αποδειχθεί ότι η γωνία BEF=30.
💡 Παρατήρηση: Στην αρχική διατύπωση του Langley δεν γίνεται αναφορά στο σημείο DDD. Ενδέχεται να είναι το σημείο τομής των BE και CF.

Μια κλασική λύση (JW Mercer, 1923):
1️⃣ Σχεδιάζουμε την ευθεία BG, η οποία σχηματίζει γωνία 20 με την πλευρά BC και τέμνει την CA στο σημείο G.

2️⃣ Η γωνία GBF είναι 60, ενώ οι γωνίες BGC και BCG είναι και οι δύο 80, επομένως το τμήμα BCB είναι ίσο με το BGB, δηλαδή BC=BG.

3️⃣ Οι γωνίες BCF και BFC είναι και οι δύο 50, άρα BF=BG και το τρίγωνο BFG είναι ισόπλευρο.

4️⃣ Επειδή οι γωνίες GBE και BEG είναι και οι δύο 40, προκύπτει ότι BG=GE=GF.

5️⃣ Η γωνία FGE είναι 40, οπότε η γωνία GEF είναι 70 και τελικά η γωνία BEF είναι 30. ✅
Το Langley's Adventitious Angles είναι ένα από τα πιο διάσημα προβλήματα στοιχειώδους γεωμετρίας, καθώς η λύση του προκύπτει με εκπληκτικό τρόπο μέσω συμμετρίας και τριγωνομετρικών σχέσεων.