Langley's Adventitious Angles

Ο Edward Mann Langley, ιδρυτής του Mathematical Gazette, διατύπωσε το εξής γεωμετρικό πρόβλημα το $1922$:

Δίνεται ένα ισοσκελές τρίγωνο $ABC$ με γωνίες $B=C=80\circ$. Η ευθεία $CF$, σχηματίζοντας γωνία ${30}^{\circ }$ με την πλευρά $AC$, τέμνει την πλευρά $AB$ στο σημείο $F$.

Η ευθεία $BE$, σχηματίζοντας γωνία ${20}^{\circ }$ με την πλευρά $AB$, τέμνει την πλευρά $AC$ στο σημείο $E$.

Να αποδειχθεί ότι η γωνία $\mathrm{\angle }BEF={30}^{\circ }$.

💡 Παρατήρηση: Στην αρχική διατύπωση του Langley δεν γίνεται αναφορά στο σημείο DDD. Ενδέχεται να είναι το σημείο τομής των $BE$ και $CF$.

Μια κλασική λύση (JW Mercer, 1923):

1️⃣ Σχεδιάζουμε την ευθεία $BG$, η οποία σχηματίζει γωνία ${20}^{\circ }$ με την πλευρά $BC$ και τέμνει την $CA$ στο σημείο $G$.

2️⃣ Η γωνία $\mathrm{\angle }GBF$ είναι ${60}^{\circ }$, ενώ οι γωνίες $\angle BGC$ και $\angle BCG$ είναι και οι δύο ${80}^{\circ }$, επομένως το τμήμα $BCB$ είναι ίσο με το $BGB$, δηλαδή $BC=BG$.

3️⃣ Οι γωνίες $\angle BCF$ και $\mathrm{\angle }BFC$ είναι και οι δύο ${50}^{\circ }$, άρα $BF=BG$ και το τρίγωνο $BFG$ είναι ισόπλευρο.

4️⃣ Επειδή οι γωνίες $\mathrm{\angle }GBE$ και $\mathrm{\angle }BEG$ είναι και οι δύο ${40}^{\circ }$, προκύπτει ότι $BG=GE=GF$.

5️⃣ Η γωνία $\mathrm{\angle }FGE$ είναι ${40}^{\circ }$, οπότε η γωνία $\mathrm{\angle }GEF$ είναι ${70}^{\circ }$ και τελικά η γωνία $\mathrm{\angle }BEF$ είναι ${30}^{\circ }$. ✅

Το Langley's Adventitious Angles είναι ένα από τα πιο διάσημα προβλήματα στοιχειώδους γεωμετρίας, καθώς η λύση του προκύπτει με εκπληκτικό τρόπο μέσω συμμετρίας και τριγωνομετρικών σχέσεων.