arctan⁡(1)+arctan⁡(2)+arctan⁡(3)=π

Να αποδειχθεί ότι: $$arctan(1)+arctan(2)+arctan(3)=\pi .$$

Απόδειξη

Έστω 

$arctan(1)=x$, $arctan(2)=y$, και $arctan(3)=z$.

Χρήση την ταυτότητα $$\tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\cdot \tan y}$$Έχουμε: $$\tan (x+y)=\frac{1+2}{1-1\cdot 2}=\frac{3}{-1}=-3$$  Άρα $\tan (x+y)=-3$. Χρήση της ίδιας ταυτότητας: $$\tan (z+(x+y))=\frac{\tan z+\tan (x+y)}{1-\tan z\cdot \tan (x+y)}$$ Υπολογίζουμε: $$\tan (z+(x+y))=\frac{3+(-3)}{1-3\cdot (-3)}=\frac{0}{1+9}=0$$ Επειδή $\tan (z+(x+y))=\tan (x+y+z)=0$ και  $\tan (\pi )=0$), έχουμε: $$x+y+z=\pi$$ Άρα $\arctan (1)+\arctan (2)+\arctan (3)=\pi$.