Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [91]

 Του Νίκου Σούρμπη  

Έστω η συνάρτηση $$f(x)=x^3+\kappa x^2+2+{\int }_0^{2}f(x)dx$$για την οποία γνωρίζουμε ότι η εφαπτομένη στο σημείο $M(1,f(1))$ διαπερνά τη γραφική της παράσταση. 

α) Να δείξετε ότι $\kappa =-3$ και $${\int }_0^{2}f(x)dx=0$$ β) Να δείξετε ότι η $f$ έχει δύο τοπικά ακρότατα και ένα σημείο καμπής συνευθειακά. 

γ) Αν η $g$ είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ και $$g^3(\alpha )-g^3(\beta )=3(g^2(\alpha )-g^2(\beta ))$$ με $g(\alpha ),g(\beta )\in (2,+\mathrm{\infty })$, να δείξετε ότι η $g$ έχει κρίσιμο σημείο στο $(\alpha ,\beta )$. 

δ) Βρείτε το πλήθος των τιμών του $\lambda \in \mathbb{R}$ αν ισχύει ότι: $${\int }_{{\lambda }^3}^{3{\lambda }^2-2}{f}^2(x)dx={\lambda }^3-3{\lambda }^2+2$$