Η συνάρτηση του Thomae

Η συνάρτηση του Thomae είναι μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, η οποία ορίζεται ως εξής:$$\{\begin{array}{ll}\frac{1}{q},& \text{αν }x=\frac{p}{q}\text{ (όπου }p\in \mathbb{Z}\text{ και }q\in \mathbb{N}\text{ είναι πρώτοι μεταξύ τους),}\\ 0,& \text{αν }x\text{ είναι άρρητος.}\end{array}$$ \] 

Η συνάρτηση αυτή ονομάστηκε έτσι προς τιμήν του Carl Johannes Thomae, αλλά είναι επίσης γνωστή με άλλα ονόματα, όπως: 

- Συνάρτηση ποπ κορν (popcorn function) 

- Συνάρτηση σταγόνας βροχής (raindrop function) 

- Συνάρτηση του μέτρου συννεφιάς (countable cloud function) 

- Τροποποιημένη συνάρτηση του Dirichlet (modified Dirichlet function) 

- Συνάρτηση χάρακας (ruler function, όχι να συγχέεται με τη συνάρτηση χάρακας ακεραίων) 

- Συνάρτηση του Riemann 

- Αστέρια πάνω από τη Βαβυλώνα (όνομα που της έδωσε ο John Horton Conway). 

Ο Thomae χρησιμοποίησε τη συγκεκριμένη συνάρτηση ως παράδειγμα μιας ολοκληρώσιμης συνάρτησης με άπειρες ασυνέχειες, σε ένα πρώιμο διδακτικό βιβλίο για την έννοια της ολοκλήρωσης του Riemann. Αυτή η συνάρτηση αποτελεί ένα μοναδικό και ενδιαφέρον παράδειγμα για τη μελέτη των ιδιοτήτων των πραγματικών συναρτήσεων, συνδυάζοντας τη διακριτότητα με τη συνέχεια!