Φανταστείτε ένα πλέγμα διαστάσεων $n×n$, στο οποίο δημιουργείτε μια διαδρομή αποτελούμενη από $n$ τμήματα, που ξεκινά από την κάτω αριστερή γωνία και καταλήγει στην κάτω δεξιά γωνία. Κάθε τμήμα συνδέει την τελική κορυφή του προηγούμενου τμήματος με μια κορυφή που βρίσκεται αμέσως δεξιά της, μέχρι να φτάσετε στην τελευταία κορυφή.
Ας εξετάσουμε τις πιθανές διαδρομές για κάθε μία από τις πρώτες τάξεις του πλέγματος:
Ορίζουμε αξιωματικά τον πρώτο αριθμό Motzkin ως $1$, που αντιστοιχεί στον αριθμό των μονοπατιών στο πλέγμα $0×0$.
Αν συνεχίσουμε τη μελέτη, θα παρατηρήσουμε ότι η σειρά που σχηματίζεται από αυτούς τους αριθμούς είναι:
$1,1,2,4,9,21,51,127,323,835,2188,5798,…$
Αυτοί οι αριθμοί μπορούν επίσης να ερμηνευθούν ως ο αριθμός των διαφορετικών τρόπων σχεδίασης χορδών σε έναν κύκλο που δεν τέμνονται μεταξύ $n$ σημείων.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου