Υπολογισμός ορίου με αντικατάσταση

Να υπολογιστεί το όριο:$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{x^2+x-1}-x.$$

Λύση

Θέτουμε

$x={\displaystyle \frac{1}{t}}$ 

οπότε $x\to \mathrm{\infty }$ και $t\to 0.$

Έχουμε διαδοχικά:

$\underset{t\to 0}{lim}\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{t^2}}+{\displaystyle \frac{1}{t}}-1}-{\displaystyle \frac{1}{t}}$

$=\underset{t\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sqrt{1+t-t^2}-1}{t}}$

το όριο είναι της μορφής $0/0$, οπότε εφαρμόζοντας De L' Hospital έχουμε

$=\underset{t\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1-2t}{2\sqrt{1+t-t^2}}}}{1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}.$