Υπολογισμός ορίου με αντικατάσταση

Να υπολογιστεί το όριο:$$ \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2 + x - 1} - x.$$

Λύση

Θέτουμε

$x = \dfrac{1}{t}$ 

οπότε $x \to \infty$ και $t \to 0.$

Έχουμε διαδοχικά:

$\lim_{t \to 0} \sqrt{\dfrac{1}{t^2} + \dfrac{1}{t} - 1} - \dfrac{1}{t} $

$=\lim_{t \to 0} \dfrac{\sqrt{1 + t - t^2} - 1}{t}$

το όριο είναι της μορφής $0/0$, οπότε εφαρμόζοντας De L' Hospital έχουμε

$=\lim_{t \to 0} \dfrac{\dfrac{1 - 2t}{2\sqrt{1 + t - t^2}}}{1}=\dfrac{1}{2}.$