Click to Translate Whole Page to Read and Solve

Πέμπτη 9 Ιανουαρίου 2025

Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία: Ένα πρόβλημα Μαθηματικών Ολυμπιάδων

Πρόβλημα
Να βρείτε όλους τους τριψήφιους φυσικούς αριθμούς για τους οποίους το τετράγωνό τους λήγει με τα ίδια τρία ψηφία. 
Λύση 
Θέλουμε να βρούμε όλους τους τριψήφιους n για τους οποίους 
1000|n2n.
Ισοδύναμα θέλουμε 
8|n(n1) και 125|n(n1)
Επειδή οι n1,n είναι πρώτοι μεταξύ τους τότε αυτό είναι ισοδύναμο με 
(8|n ή 8|n1) και (125|n ή 125|n1)
Έχουμε λοιπόν 4 περιπτώσεις: 
n0 mod 8 και n0 mod 125. Τότε n0 mod 1000 που απορρίπτεται. (Πρέπει n τριψήφιος.)
n1 mod 8 και n1 mod 125. Τότε n1 mod 1000 που απορρίπτεται.
n0 mod 8 και n1 mod 125. Τότε n376 mod 1000 που δίνει n=376.
n0 mod 8 και n1 mod 125. Τότε n625 mod 1000 που δίνει n=625.