Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία: Ένα πρόβλημα Μαθηματικών Ολυμπιάδων

Πρόβλημα

Να βρείτε όλους τους τριψήφιους φυσικούς αριθμούς για τους οποίους το τετράγωνό τους λήγει με τα ίδια τρία ψηφία. 

Λύση 

Θέλουμε να βρούμε όλους τους τριψήφιους $n$ για τους οποίους 

$1000|n 2 − n$.

Ισοδύναμα θέλουμε 

$8|n(n − 1)$ και $125|n(n − 1)$. 

Επειδή οι $n − 1, n$ είναι πρώτοι μεταξύ τους τότε αυτό είναι ισοδύναμο με 

$(8|n$ ή $8|n − 1)$ και $(125|n$ ή $125|n − 1)$. 

Έχουμε λοιπόν $4$ περιπτώσεις: 

• $n ≡ 0$ mod $8$ και $n ≡ 0$ mod $125$. Τότε $n ≡ 0$ mod $1000$ που απορρίπτεται. (Πρέπει $n$ τριψήφιος.)

• $n ≡ 1$ mod $8$ και $n ≡ 1$ mod $125$. Τότε $n ≡ 1$ mod $1000$ που απορρίπτεται.

• $n ≡ 0$ mod $8$ και $n ≡ 1$ mod $125$. Τότε $n ≡ 376$ mod $1000$ που δίνει $n = 376$.

• $n ≡ 0$ mod $8$ και $n ≡ 1$ mod $125$. Τότε $n ≡ 625$ mod $1000$ που δίνει $n = 625$.

Επιμέλεια: Δημήτρης Χριστοφίδης