Γιατί Όλοι Παρεξηγούν τη Λύση στο Παράδοξο των Τριών Κουτιών του Τζόζεφ Μπέρτραντ

Το Παράδοξο των Τριών Κουτιών είναι ένα από τα πιο χαρακτηριστικά παραδείγματα που αναδεικνύουν τη δύναμη της πιθανολογικής σκέψης. Παρουσιάστηκε για πρώτη φορά από τον Γάλλο μαθηματικό Joseph Louis François Bertrand (1822–1900) στο βιβλίο του Calcul des Probabilités το 1889.

Παρόμοιο με το πρόβλημα του Monty Hall, το παράδοξο περιλαμβάνει τρία πανομοιότυπα εξωτερικά κουτιά, καθένα από τα οποία περιέχει δύο συρτάρια:

• Το ένα κουτί (AA) περιέχει δύο χρυσά νομίσματα.
• Το δεύτερο (GG) περιέχει δύο ασημένια.
• Το τρίτο (AG) περιέχει ένα χρυσό και ένα ασημένιο.

Το Παράδοξο

Ας επιλέξουμε τυχαία ένα κουτί και ας ανοίξουμε ένα από τα συρτάρια του. Αν βρούμε ένα χρυσό νόμισμα, ποια είναι η πιθανότητα το άλλο συρτάρι του ίδιου κουτιού να περιέχει επίσης χρυσό;

Οι περισσότεροι θα υποθέσουν ότι η πιθανότητα είναι 50%. Όμως, αυτή η διαισθητική απάντηση είναι λάθος!

Γιατί Παρεξηγούμε τη Λύση

Αρχικά, η πιθανότητα να επιλέξουμε οποιοδήποτε από τα τρία κουτιά είναι 1/3. Αν βρούμε χρυσό, αποκλείουμε το κουτί GG, καθώς περιέχει μόνο ασημένια νομίσματα. Μένουν δύο επιλογές:

• Το κουτί AA, όπου και τα δύο συρτάρια περιέχουν χρυσό.
• Το κουτί AG, όπου μόνο ένα συρτάρι περιέχει χρυσό.

Εδώ βρίσκεται η παγίδα: Αν επιλέξουμε το κουτί AA, η πιθανότητα να δούμε χρυσό είναι 100%, ενώ αν επιλέξουμε το AG, η πιθανότητα να δούμε χρυσό είναι 50%. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα να έχουμε επιλέξει το κουτί AA αυξάνεται, καθώς το εύρημα του χρυσού νομίσματος είναι πιο πιθανό να προέρχεται από αυτό.

Η Σωστή Απάντηση

Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα σωστά, πρέπει να εξετάσουμε τα εξής:

• Από τα τρία πιθανά σενάρια, το ένα σχετίζεται με το κουτί AG (1/3) και τα δύο με το κουτί AA (2/3), καθώς κάθε συρτάρι του AA είναι ισοπίθανο να επιλεγεί.

Συνεπώς, αν βρούμε χρυσό, η πιθανότητα το άλλο συρτάρι να περιέχει επίσης χρυσό είναι 2/3.

---

Με αυτόν τον τρόπο, το Παράδοξο των Τριών Κουτιών μας διδάσκει ότι η πιθανολογική σκέψη απαιτεί προσοχή και όχι διαισθητικές εκτιμήσεις. Σκεφτείτε το λίγο και δοκιμάστε να εφαρμόσετε τη λογική του σε άλλα προβλήματα πιθανοτήτων!