Μία ωραία συλλογιστική !

Aν 

$a^3–b^3–c^3=3abc$

$a^2=2(b+c)$ 

να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί $a,b,c$.

Λύση

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να λυθεί το σύστημα, αλλά ο Raymond Huck από το Marietta College βρήκε έναν εντυπωσιακά απλό τρόπο. 

Το $3abc$ είναι θετικός αριθμός, άρα από την πρώτη ισότητα προκύπτει ότι $b<a$ και $c<a$. Προσθέτουμε κατά μέλη αυτές τις δύο ανισότητες και παίρνουμε $b+c<2a$, και επομένως $2(b+c)<4a$. 

Αντικαθιστούμε στη δεύτερη ισότητα και έχουμε $a^2<4a$, άρα $a<4$. Από την δεύτερη ισότητα συμπεραίνουμε ότι ο $a$ είναι ένας ζυγός αριθμός, άρα $a=2$, και οι αριθμοί $b$ και $c$, που είναι μικρότεροι, πρέπει να είναι και οι δύο $1$.

American Mathematical Monthly, 1957