Μία ωραία συλλογιστική !

Aν 

$a ^3 – b ^3 – c ^3 = 3 abc $

$a ^2 = 2( b + c )$ 

να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί $a,b,c$.

Λύση

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να λυθεί το σύστημα, αλλά ο Raymond Huck από το Marietta College βρήκε έναν εντυπωσιακά απλό τρόπο. 

Το $3 abc$ είναι θετικός αριθμός, άρα από την πρώτη ισότητα προκύπτει ότι $b < a$ και $c < a$. Προσθέτουμε κατά μέλη αυτές τις δύο ανισότητες και παίρνουμε $b + c < 2 a$, και επομένως $2( b + c ) < 4 a$. 

Αντικαθιστούμε στη δεύτερη ισότητα και έχουμε $a^ 2 < 4 a$, άρα $a < 4$. Από την δεύτερη ισότητα συμπεραίνουμε ότι ο $a$ είναι ένας ζυγός αριθμός, άρα $a= 2$, και οι αριθμοί $b$ και $c$, που είναι μικρότεροι, πρέπει να είναι και οι δύο $1$.

American Mathematical Monthly, 1957