Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [89]

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\to R$ ώστε να ισχύουν τα κάτωθι:

• $x\in \mathbb{R}$
• $f(0)=1$
• $f(x)f^{\prime }(x)-f^2(x)=x{e}^{2x}$

1) Δείξτε ότι $$f(x)=e^x\sqrt{x^2+1},x\in \mathbb{R}$$

2) Να δείξετε ότι $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(f(x)-x{e}^x)=+\mathrm{\infty }.$$

3) Nα λυθεί η ανίσωση $${\displaystyle e^{x^2-x}<{\displaystyle \sqrt{\frac{x^2+1}{x^4+1}}}}$$

4) Nα δειχθεί οτι η $C_f$ και η ευθεία $y=-x$ έχουν μοναδικό κοινό σημείο.

5) Aν $F$ μία παράγουσα της $f$, τότε $$2F(2021)<F(2022)+F(2020).$$

Πηγή: mathematica