Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [89]

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: R \to R$ ώστε να ισχύουν τα κάτωθι:

• $x \in \mathbb{R}$
• $f(0)=1$
• $f(x)f'(x)-f^2(x)=xe^{2x}$

1) Δείξτε ότι $$f(x)=e^x\sqrt{x^2+1}, x \in \mathbb{R}$$

2) Να δείξετε ότι $$\lim_{x \to+\infty}\left ( f(x)-xe^x \right )=+\infty.$$

3) Nα λυθεί η ανίσωση $$\displaystyle {e^{x^2-x}}<\displaystyle{\sqrt{\frac{x^2+1}{x^4+1}}}$$

4) Nα δειχθεί οτι η $C_f$ και η ευθεία $y=-x$ έχουν μοναδικό κοινό σημείο.

5) Aν $F$ μία παράγουσα της $f $, τότε $$2F(2021)<F(2022)+F(2020).$$

Πηγή: mathematica