Το Άθροισμα των Ψηφίων του 2n και η Συμπεριφορά του

Έστω $S(n)$ το άθροισμα των ψηφίων του $2^n$ (στη βάση 10). Η ακολουθία των τιμών του $S(n)$ αυξάνεται και μειώνεται με ενδιαφέροντες τρόπους. 

Για παράδειγμα:

• $2^0=1\to S(0)=1$,
• $2^1=2\to S(1)=2$,
• $2^2=4\to S(2)=4$,
• $2^3=8\to S(3)=8$,
• $2^4=16\to S(4)=1+6=7$,
• $2^5=32\to S(5)=3+2=5$,
• $2^6=64\to S(6)=6+4=10$, και ούτω καθεξής.

Είστε σίγουροι ότι το $S(n)$ τείνει στο άπειρο καθώς το $n$ τείνει στο άπειρο;