Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία: Ένα πρόβλημα Μαθηματικών Ολυμπιάδων [2]

Ο Ανδρέας παίζει μόνος του το εξής παιγνίδι: Αρχικά έχει δέκα στοίβες με $1, 2, 3, . . . , 9$ και $10$ νομίσματα αντίστοιχα. 

Σε κάθε κίνηση ο Ανδρέας κάνει μία από τις παρακάτω πράξεις: 

(α) Επιλέγει δύο στοίβες με τουλάχιστον δύο νομίσματα η καθεμία, τις ενώνει σε μία στοίβα και προσθέτει σε αυτή ακόμη δύο νομίσματα. 

(β) Επιλέγει μία στοίβα με τουλάχιστον τέσσερα νομίσματα, αφαιρεί από αυτή δύο νομίσματα και ακολούθως την χωρίζει σε δύο στοίβες με όσα νομίσματα (τουλάχιστον ένα νόμισμα) θέλει στην καθεμία. Το παιγνίδι τελειώνει όταν ο Ανδρέας δεν μπορεί πλέον να κάνει καμία από τις δύο πράξεις. 

Να δείξετε ότι αν το παιγνίδι τελειώσει, τότε το πλήθος των στοιβών που θα παραμείνουν είναι πάντα το ίδιο, ανεξάρτητα από τις κινήσεις που θα κάνει ο Ανδρέας.