10 ανισότητες από το mathematica

Nα αποδειχθούν οι ανισότητες:

1) $\displaystyle{3(a^4+a^2+1) \geq (a^2+a+1)^2, a>0}$

2) $\displaystyle{\left( \frac{1}{|a|}+\frac{1}{|b|}+\frac{1}{|c|}\right)\left(|a|+|b|+|c| \right) \geq 9, a,b,c \neq 0}$

3) $\displaystyle{\frac{a^2+b^2+c^2}{3} \geq \left(\frac{a+b+c}{3} \right)^2}$

4) $\displaystyle{\sqrt{a}+\sqrt{b} \leq \sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}, a,b >0}$

5) $a^4+b^4+c^4+d^4 \geq 4abcd \,\, a,b,c,d \in R$

6) $\displaystyle{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geq (a+b+c)abc \,\, a,b,c \in R}$

7) $\displaystyle{\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2} \geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}, a,b,c >0}$

8) $2a^4+1 \geq 2a^3+a^2$

9) $3(a+b)^2+8b^2 \geq 2(a-b)^2+4ab$

 10) $\displaystyle{\begin{cases} \displaystyle{\left(a+b+c \right)+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} \right) +\frac{8}{abc} \geq \frac{121}{12}} \\ \\ \alpha \nu \,\,\,\, a,b,c >0: \begin{cases} ab \geq 12\\ bc \geq 8\\ \end{cases} \end{cases}}$

Πηγή: mathematica