Ορισμός εμβαδού επιπέδου χωρίου

Έστω $f$ μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα $[α,β]$, με $f(x) ≥ 0$ για κάθε $x ϵ [α,β]$ και $Ω$ το χωρίο που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της $f$, τον άξονα των $x$ και τις ευθείες $x = α, x = β$.

Για να ορίσουμε το εμβαδόν του χωρίου $Ω$ εργαζόμαστε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα. Δηλαδή:

• Χωρίζουμε το διάστημα $[α,β]$ σε ν ισομήκη υποδιαστήματα, μήκους , με τα σημεία .
• Σε κάθε υποδιάστημα $[x_{κ−1} , x_κ ]$ επιλέγουμε αυθαίρετα ένα σημείο ξκ και σχηματίζουμε τα ορθογώνια που έχουν βάση $Δx$ και ύψη τα $f(ξ_κ)$. Το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων αυτών είναι

Υπολογίζουμε το

Αποδεικνύεται ότι το υπάρχει στο $R$ και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των σημείων $ξ_κ$. Το όριο αυτό ονομάζεται εμβαδόν του επιπέδου χωρίου $Ω$ και συμβολίζεται με $Ε(Ω)$. Είναι φανερό ότι $Ε(Ω) ≥ 0$.