Ορισμός εμβαδού επιπέδου χωρίου

Έστω $f$ μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα $[\alpha ,\beta ]$, με $f(x)\ge 0$ για κάθε $xϵ[\alpha ,\beta ]$ και $\Omega$ το χωρίο που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της $f$, τον άξονα των $x$ και τις ευθείες $x=\alpha ,x=\beta$.

Για να ορίσουμε το εμβαδόν του χωρίου $\Omega$ εργαζόμαστε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα. Δηλαδή:

• Χωρίζουμε το διάστημα $[\alpha ,\beta ]$ σε ν ισομήκη υποδιαστήματα, μήκους , με τα σημεία .
• Σε κάθε υποδιάστημα $[x_{\kappa -1},x_{\kappa }]$ επιλέγουμε αυθαίρετα ένα σημείο ξκ και σχηματίζουμε τα ορθογώνια που έχουν βάση $\Delta x$ και ύψη τα $f({\xi }_{\kappa })$. Το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων αυτών είναι

Υπολογίζουμε το

Αποδεικνύεται ότι το υπάρχει στο $R$ και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των σημείων ${\xi }_{\kappa }$. Το όριο αυτό ονομάζεται εμβαδόν του επιπέδου χωρίου $\Omega$ και συμβολίζεται με ${\rm E}(\Omega )$. Είναι φανερό ότι ${\rm E}(\Omega )\ge 0$.