Κυρτή συνάρτηση (αντίστροφα)

Έστω συνάρτηση $f:I\subseteq \mathbb{R}⟶\mathbb{R}$ κυρτή στο ανοικτό διάστημα $I$.

Να αποδειχθεί ότι: 

Για κάθε $x\in I$ υπάρχουν τα όρια 

$\underset{h\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$ 

και 

$\underset{h\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$, 

και οι συναρτήσεις $f_{-}^{\prime },f_{+}^{\prime }:I\subseteq \mathbb{R}⟶\mathbb{R}$ που ορίζονται ως 

$f_{-}^{\prime }(x)=\underset{h\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$ 

και 

$f_{+}^{\prime }(x)=\underset{h\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$, 

αντίστοιχα, είναι αύξουσες.

ii) Για κάθε $x_1,x_2\in I$, με $x_1<x_2$ ισχύει 

$f_{-}^{\prime }(x_1)⩽f_{+}^{\prime }(x_1)⩽f_{-}^{\prime }(x_2)⩽f_{+}^{\prime }(x_2).$

iii) H $f$ είναι παραγωγίσιμη παντού στο $I$ εκτός από ένα το πολύ αριθμήσιμο πλήθος σημείων του $I$.

Πηγή: mathematica