Κυρτή συνάρτηση (αντίστροφα)

Έστω συνάρτηση $f\colon I \subseteq \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ κυρτή στο ανοικτό διάστημα $I$.

Να αποδειχθεί ότι: 

Για κάθε $x\in I$ υπάρχουν τα όρια 

$\lim\limits_{h \to 0^{-}}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 

και 

$\lim\limits_{h \to 0^{+}}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, 

και οι συναρτήσεις $f'_{-},f'_{+}\colon I \subseteq \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ που ορίζονται ως 

$f'_{-}(x)=\lim\limits_{h \to 0^{-}}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 

και 

$f'_{+}(x)=\lim\limits_{h \to 0^{+}}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, 

αντίστοιχα, είναι αύξουσες.

ii) Για κάθε $x_1,x_2\in I$, με $x_1<x_2$ ισχύει 

$f'_{-}({x_1})\leqslant f'_{+}({x_1})\leqslant f'_{-}({x_2})\leqslant f'_{+}({x_2})\,.$

iii) H $f$ είναι παραγωγίσιμη παντού στο $I$ εκτός από ένα το πολύ αριθμήσιμο πλήθος σημείων του $I$.

Πηγή: mathematica