Άλυτες KARKARO εμπνεύσεις !

Έστω χορδή $DE$ κύκλου $\left( O \right)$ (κέντρου $O$ ) που τέμνει τη διάμετρό του $AB$ στο σημείο $C$ μεταξύ των $O,B$ και ας είναι $F$ το αντιδιαμετρικό του $E$ και $I$ το έγκεντρο του ορθογωνίου

τριγώνου $\vartriangle DCF$ ας είναι $T$ το σημείο τομής του περίκυκλου του τετραπλεύρου $F,I,C,{D}'$ με τον $\left( O \right)$, με ${D}'$ το $D$ παράκεντρο του $\vartriangle DCF$ και $P\equiv D{D}'\cap \left( O \right),P\ne D$. 

Να δειχθεί ότι: 

i) $\dfrac{DF}{FA}\cdot \dfrac{AP}{PT}\cdot \dfrac{TB}{BD}=1$ 

ii) Τα σημεία $A,I,B,{D}'$ ανήκουν σε κύκλο με ακτίνα $\sqrt{{{R}^{2}}+O{{C}^{2}}}$, όπου $R$ η ακτίνα του κύκλου $\left( O \right)$.

Πηγή: mathematica