Το θεώρημα του Girard Desargues (1591-1661)

Θεώρημα

Στο επίπεδο θεωρούμε τα τρίγωνα $ΑΒΓ$ και $Α’Β’Γ’$ και την αντιστοιχία: $\displaystyle{ {\rm A} \to {\rm A}',\;{\rm B} \to {\rm B}',\;\Gamma \to \Gamma ' }$. 

i) Αν οι ευθείες που συνδέουν τις αντίστοιχες κορυφές διέρχονται από το ίδιο σημείο, οι ευθείες των αντιστοίχων πλευρών των δύο τριγώνων θα τέμνονται σε σημεία συνευθειακά 

ii) Αντιστρόφως: Αν οι πλευρές δύο τριγώνων $ΑΒΓ$ και $Α’Β’Γ’$ τέμνονται σε συνευθειακά σημεία τότε οι κορυφές που συνδέουν τις αντίστοιχες πλευρές του τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Απόδειξη 

i) Στα τρίγωνα $ΟΑΓ, ΟΓΒ$ και $ΟΒΓ$ εφαρμόζοντας το θεώρημα του Μενελάου με τέμνουσες αντίστοιχα: 

$\displaystyle{ \frac{{\Delta \Gamma }}{{\Delta {\rm A}}} \cdot \frac{{{\rm A}'{\rm A}}}{{{\rm A}'{\rm O}}} \cdot \frac{{\Gamma '{\rm O}}}{{\Gamma '\Gamma }} = 1:\left( 1 \right) } \displaystyle{ \frac{{{\rm E}{\rm B}}}{{{\rm E}\Gamma }} \cdot \frac{{\Gamma '\Gamma }}{{\Gamma '{\rm O}}} \cdot \frac{{{\rm B}'{\rm O}}}{{{\rm B}'{\rm B}}} = 1:\left( 2 \right) }$ 

και 

$\displaystyle{ \frac{{{\rm Z}{\rm A}}}{{{\rm Z}{\rm B}}} \cdot \frac{{{\rm B}'{\rm B}}}{{{\rm B}'{\rm O}}} \cdot \frac{{{\rm A}'{\rm O}}}{{{\rm A}'{\rm A}}} = 1:\left( 3 \right) }$ 

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις σχέσεις (1), (2), (3) έχουμε: 

$\displaystyle{ \frac{{\Delta \Gamma }}{{\Delta {\rm A}}} \cdot \frac{{{\rm E}{\rm B}}}{{{\rm E}\Gamma }} \cdot \frac{{{\rm Z}{\rm A}}}{{{\rm Z}{\rm B}}} = 1 }$

οπότε από το αντίστροφο του Μενελάου τα σημεία $Δ, Ε, Ζ$ είναι συνευθειακά. 

ii) Υποθέτουμε ότι τα σημεία $Δ, Ε, Ζ$ είναι συνευθειακά και έστω $\displaystyle{ {\rm O} = {\rm B}{\rm B}' \cap \Gamma \Gamma ' }$. 

Θα δείξω ότι τα σημεία $Α, Ο, Α’$ είναι συνευθειακά. Στα τρίγωνα $ΖΒΒ’, ΔΓΓ’$ οι ευθείες που ενώνουν τις κορυφές $Β, Γ – Β’, Γ’ – Ζ, Δ$ διέρχονται από το ίδιο σημείο άρα οι αντίστοιχες πλευρές τους, σύμφωνα με το ευθύ του θεωρήματος τα τέμνονται σε συνευθειακά σημεία, δηλαδή τα $Α, Ο, Α’$ είναι συνευθειακά.

Πηγή: mathematica