Translate Whole Page to Read and Solve

Κυριακή 6 Οκτωβρίου 2024

Το θεώρημα του Girard Desargues (1591-1661)

Θεώρημα

Στο επίπεδο θεωρούμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒΓ και την αντιστοιχία: AA,BB,ΓΓ
i) Αν οι ευθείες που συνδέουν τις αντίστοιχες κορυφές διέρχονται από το ίδιο σημείο, οι ευθείες των αντιστοίχων πλευρών των δύο τριγώνων θα τέμνονται σε σημεία συνευθειακά 
ii) Αντιστρόφως: Αν οι πλευρές δύο τριγώνων ΑΒΓ και ΑΒΓ τέμνονται σε συνευθειακά σημεία τότε οι κορυφές που συνδέουν τις αντίστοιχες πλευρές του τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Απόδειξη 

i) Στα τρίγωνα ΟΑΓ,ΟΓΒ και ΟΒΓ εφαρμόζοντας το θεώρημα του Μενελάου με τέμνουσες αντίστοιχα: 
ΔΓΔAAAAOΓOΓΓ=1:(1)EBEΓΓΓΓOBOBB=1:(2) 
και 
ZAZBBBBOAOAA=1:(3) 
Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις σχέσεις (1), (2), (3) έχουμε: 
ΔΓΔAEBEΓZAZB=1
οπότε από το αντίστροφο του Μενελάου τα σημεία Δ,Ε,Ζ είναι συνευθειακά. 
ii) Υποθέτουμε ότι τα σημεία Δ,Ε,Ζ είναι συνευθειακά και έστω O=BBΓΓ
Θα δείξω ότι τα σημεία Α,Ο,Α είναι συνευθειακά. Στα τρίγωνα ΖΒΒ,ΔΓΓ οι ευθείες που ενώνουν τις κορυφές Β,ΓΒ,ΓΖ,Δ διέρχονται από το ίδιο σημείο άρα οι αντίστοιχες πλευρές τους, σύμφωνα με το ευθύ του θεωρήματος τα τέμνονται σε συνευθειακά σημεία, δηλαδή τα Α,Ο,Α είναι συνευθειακά.
Πηγή: mathematica