Εγγράψιμο από συμμετρία

Δίνεται τρίγωνο ${\displaystyle \stackrel{\mathrm{\Delta }}{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }}}$ εγγεγραμμένο σε κύκλο ${\displaystyle \left(\mathrm{O},\rho \right)}$ και έστω ${{\rm M}}^{\prime },{{\rm N}}^{\prime },{{\rm P}}^{\prime }$ τα μέσα των τόξων ${\rm B}\Gamma ,\Gamma {\rm A}$ και ${\rm A}{\rm B}$ στα οποία δεν περιέχεται άλλη κορυφή του τριγώνου αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο σχήμα. 

Αν ${\rm M},{\rm N},{\rm P}$ είναι τα συμμετρικά των ${{\rm M}}^{\prime },{{\rm N}}^{\prime },{{\rm P}}^{\prime }$ ως προς τις πλευρές ${\rm B}\Gamma ,\Gamma {\rm A}$ και ${\rm A}{\rm B}$ αντίστοιχα και ${\rm H}$ το ορθόκεντρο του τριγώνου ${\displaystyle \stackrel{\mathrm{\Delta }}{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }}}$, να δειχθεί ότι τα σημεία ${\rm H},{\rm P},{\rm M},{\rm N}$ είναι ομοκυκλικά​.

Πηγή: mathematica