Αριθμοθεωρητική συνάρτηση Möbius

ΟΡΙΣΜΟΣ

Το $n > 1$ χαρακτηρίζεται ελεύθερο τετραγώνου αν δεν υπάρχει πρώτος $p$ ώστε $p^2 | n$. 

Για να ισχύει $p^2 | n$ προϋποτίθεται ότι ισχύει $p | n$. 

Επομένως, το να είναι ο $n > 1$ ελεύθερος τετραγώνου ισοδυναμεί με το ότι για κάθε πρώτο διαιρέτη $p$ του n ισχύει $p^2 ∤ n$. 

Επομένως, το να είναι ο $n > 1$ ελεύθερος τετραγώνου ισοδυναμεί με το ότι η κανονική αναπαράστασή του είναι της μορφής 

$n = p_1 · · · p_k$, 

όπου όλοι οι πρώτοι διαιρέτες του $n$ εμφανίζονται με εκθέτη $1$.

ΟΡΙΣΜΟΣ

Η αριθμοθεωρητική συνάρτηση Möbius $µ$ ορίζεται με τον τύπο 

μ(n)=\begin{cases}1 & αν n = 1 \\ 0 & αν p^2|n για κάποιον πρώτο p \\ (-1)^k & αν n = p_1 · · · p_k και οι p_1, . . . , p_k είναι πρώτοι με p_1 < . . . < p_k \end{cases}

Για παράδειγμα, 

$µ(1) = 1$, 

$µ(2) = (−1)1 = −1$, 

$µ(4) = µ(22 ) = 0$, 

$µ(6) = µ(2 · 3) = (−1)2 = 1$, 

$µ(20) = µ(22 · 5) = 0$, 

$µ(30) = µ(2 · 3 · 5) = (−1)3 = −1$.