Υδροθερμική συνάρτηση (IMO 2024, Πρόβλημα 6)

Έστω $\mathbb{Q}$ το σύνολο των ρητών αριθμών. Μία συνάρτηση $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ λέγεται υδροθερμική, αν ικανοποιείται η ακόλουθη ιδιότητα: για κάθε $x,y\in \mathbb{Q}$ ισχύει τουλάχιστον μία από τις ισότητες: 

$f(x+f(y))=f(x)+y$ 

ή 

$f(f(x)+y)=x+f(y)$. 

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακέραιος $c$ τέτοιος, ώστε για κάθε υδροθερμική συνάρτηση $f$ να υπάρχουν το πολύ $c$ διαφορετικοί ρητοί αριθμοί που γράφονται στη μορφή 

$f(r)+f(-r)$ 

για κάποιο ρητό αριθμό $r$, και να προσδιορίσετε την ελάχιστη δυνατή τιμή του $c$.