Πως ορίζεται η αντίστροφη μιας συνάρτησης;

Έστω μια συνάρτηση $f:A\to R$. Αν υποθέσουμε ότι αυτή είναι $1-1$, τότε για κάθε στοιχείο $y$ του συνόλου τιμών $f(A)$, της $f$ υπάρχει μοναδικό στοιχείο $x$ του πεδίου ορισμού της ${\rm A}$ για το οποίο ισχύει $f(x)=y$. Επομένως ορίζεται μια συνάρτηση 

$g:f(A)\to R$

με την οποία κάθε y ϵ f(A) αντιστοιχίζεται στο μοναδικό $xϵA$ για το οποίο ισχύει $f(x)=y$.

Από τον τρόπο που ορίστηκε η $g$ προκύπτει ότι:

— έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών $f(A)$ της $f$,

— έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού ${\rm A}$ της $f$ και

— ισχύει η ισοδυναμία:

$f(x)=y\iff g(y)=x$.

Αυτό σημαίνει ότι, αν η $f$ αντιστοιχίζει το $x$ στο $y$, τότε η $g$ αντιστοιχίζει το $y$ στο $x$ και αντιστρόφως. 

Δηλαδή η $g$ είναι η αντίστροφη διαδικασία της $f$. Για το λόγο αυτό η $g$ λέγεται αντίστροφη συνάρτηση της $f$ και συμβολίζεται με $f^{-1}$ . Επομένως έχουμε

$f(x)=y\iff f^{-1}(y)=x$

οπότε

$f^{-1}(f(x))=x$,      $xϵA$

και

$f(f^{-1}(y))=y$,      $yϵf(A)$.

Από το σχολικό βιβλίο Μαθηματικά, της Γ Λυκείου.