Εψιλοντικός ορισμός του ορίου

ΟΡΙΣΜΟΣ  Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής  (α, x0)∪(x0, β).  Θα λέμε ότι η f έχει στο x0 όριο ℓ ϵ R, όταν για κάθε ε > 0  υπάρχει δ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x ϵ (α, x0)∪(x0, β),  με 0 < |x − x0| < δ  να ισχύει: |f(x) −ℓ| < ε Αποδεικνύεται ότι, αν μια συνάρτηση $f$ έχει όριο στο $x_0$, τότε αυτό είναι μοναδικό και συμβολίζεται, όπως είδαμε, με $\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0} f(x)$. Στη συνέχεια, όταν γράφουμε$\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0} f(x)=l$, θα εννοούμε ότι υπάρχει το όριο της $f$ στο $x_0$ και είναι ίσο με $ℓ$. Συνέπεια του παραπάνω ορισμού είναι οι ακόλουθες ισοδυναμίες:                ● Αν μια συνάρτηση $f$ είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής $(x_0,β)$ και την ανισότητα $0 <|x − x_0|< δ$ την αντικαταστήσουμε με την $x_0 < x < x_0 + δ$, τότε έχουμε τον ορισμό του$\displaystyle \lim_{x \rightarrow x^+_0} f(x)$, ενώ αν η $f$ είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής $(α, x_0)$ και την ανισότητα $0 < |x − x_0|< δ$ την αντικαταστήσουμε με την $x_0 − δ < x < x_0$, τότε έχουμε τον ορισμό του$\displaystyle \lim_{x \rightarrow x^-_0} f(x)$. Αποδεικνύεται ότι :

Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (α, x0)∪(x0, β), τότε ισχύει η ισοδυναμία:

Από το σχολικό βιβλίο Μαθηματικά, της Γ Λυκείου.