Εψιλοντικός ορισμός του ορίου

ΟΡΙΣΜΟΣ  Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής  (α, x0)∪(x0, β).  Θα λέμε ότι η f έχει στο x0 όριο ℓ ϵ R, όταν για κάθε ε > 0  υπάρχει δ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x ϵ (α, x0)∪(x0, β),  με 0 < |x − x0| < δ  να ισχύει: |f(x) −ℓ| < ε Αποδεικνύεται ότι, αν μια συνάρτηση $f$ έχει όριο στο $x_0$, τότε αυτό είναι μοναδικό και συμβολίζεται, όπως είδαμε, με ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}f(x)}$. Στη συνέχεια, όταν γράφουμε${\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}f(x)=l}$, θα εννοούμε ότι υπάρχει το όριο της $f$ στο $x_0$ και είναι ίσο με $\ell$. Συνέπεια του παραπάνω ορισμού είναι οι ακόλουθες ισοδυναμίες:                ● Αν μια συνάρτηση $f$ είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής $(x_0,\beta )$ και την ανισότητα $0<|x-x_0|<\delta$ την αντικαταστήσουμε με την $x_0<x<x_0+\delta$, τότε έχουμε τον ορισμό του${\displaystyle \underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)}$, ενώ αν η $f$ είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής $(\alpha ,x_0)$ και την ανισότητα $0<|x-x_0|<\delta$ την αντικαταστήσουμε με την $x_0-\delta <x<x_0$, τότε έχουμε τον ορισμό του${\displaystyle \underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)}$. Αποδεικνύεται ότι :

Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (α, x0)∪(x0, β), τότε ισχύει η ισοδυναμία:

Από το σχολικό βιβλίο Μαθηματικά, της Γ Λυκείου.