Κριτήριο παρεμβολής

Υποθέτουμε ότι "κοντά στο $x_0$" μια συνάρτηση $f$ "εγκλωβίζεται" ανάμεσα σε δύο συναρτήσεις $h$ και $g$. Αν, καθώς το $x$ τείνει στο $x_0$, οι $g$ και $h$ έχουν κοινό όριο $\ell$, τότε, όπως φαίνεται και στο σχήμα, η $f$ θα έχει το ίδιο όριο $\ell$. 

Αυτό δίνει την ιδέα του παρακάτω θεωρήματος που είναι γνωστό ως κριτήριο παρεμβολής.

ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω οι συναρτήσεις f, g, h. Αν   ●  h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) κοντά στο x0 και   ●  ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}h(x)={\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}g(x)=l}}$ τότε ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}f(x)=l}$.

Για παράδειγμα, ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}(x\eta \mu {\displaystyle \frac{1}{x}})=0}$. Πράγματι, για $x\ne 0$ έχουμε

$|x\eta \mu {\displaystyle \frac{1}{x}}|=|x||\eta \mu {\displaystyle \frac{1}{x}}|\le |x|$

οπότε

$-|x|\le x\eta \mu {\displaystyle \frac{1}{x}}\le |x|$

Επειδή ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}(-|x|)={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}|x|=0}}$, σύμφωνα με το παραπάνω κριτήριο, έχουμε:

${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}(x\eta \mu {\displaystyle \frac{1}{x}})=0}$.

Από το σχολικό βιβλίο Μαθηματικά, της Γ Λυκείου.