Γεωμετρική απόδειξη της ανισότητας $x + \dfrac{1}{x} \geq 2$

Σχηματίζουμε ορθογώνια με διαστάσεις $x$ και $\dfrac{1}{x}$. Το εμβαδόν καθενός από τα τέσσερα αυτά ίσα ορθογώνια είναι $x\times  \dfrac{1}{x} = 1$. 

Το εμβαδόν του τετραγώνουμε που σχηματίζουμε με αυτά τα $4$ ορθογώνια είναι $(x + \dfrac{1}{x})^2$. Το εμβαδόν του τετραγώνου περιέχει τα τέσσερα αυτά πράσινα ορθογώνια (εμβαδόν 4 μονάδες) συν το εμβαδόν του λευκού τετραγώνου στο εσωτερικό, άρα 

$(x + \dfrac{1}{x})^2 \geq4$. 

Επομένως, παίρνοντας τις τετραγωνικές ρίζες και των δύο μελών έχουμε 

$x + \dfrac{1}{x} \geq 2$.

📘

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →