Υπάρχουν άπειροι Mersenne-πρώτοι;

ΟΡΙΣΜΟΣ

Ένας πρώτος $p$ χαρακτηρίζεται Mersenne-πρώτος αν και ο 2 p − 1 είναι πρώτος. 

Για παράδειγμα οι $2, 3, 5, 7, 13$ είναι Mersenne-πρώτοι ενώ ο πρώτος $11$ δεν είναι Mersenne πρώτος. 

Πράγματι, $2^{11} − 1 = 23 · 89$. 

Μετά από την προηγούμενη συζήτηση είναι σαφές ότι ο πρώτος $p$ είναι Mersenne-πρώτος αν και μόνο αν ο άρτιος 

$n = 2^{p−1}(2^p − 1)$ 

είναι τέλειος. 

Με άλλα λόγια οι Mersenne-πρώτοι και οι άρτιοι τέλειοι είναι σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία. 

Επομένως, το τελευταίο ερώτημα διατυπώνεται ισοδύναμα ως εξής: 

Ερώτημα

Υπάρχουν άπειροι Mersenne-πρώτοι; 

Μέχρι σήμερα έχουν βρεθεί όλοι οι Mersenne πρώτοι μέχρι και τον πρώτο 30402457. Δηλαδή, έχει βρεθεί ποιοί από τους πρώτους μέχρι τον συγκεκριμένο πρώτο είναι Mersenne-πρώτοι και ποιοί δεν είναι Mersenne-πρώτοι. 

Το πλήθος των Mersenne-πρώτων μέχρι και τον $30402457$ είναι σαράντα τρία. Μετά από αυτόν τον πρώτο είναι γνωστοί άλλοι πέντε Mersenne-πρώτοι, οι 

$32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161$. 

Δηλαδή, γνωρίζουμε συνολικά σαράντα οκτώ Mersenne-πρώτους. Για να πάρετε μια ιδέα, αναφέρω τα εξής λίγα ιστορικά στοιχεία. Ο Euler απέδειξε το $1772$ ότι ο $31$ είναι Mersenne-πρώτος. 

Ο Lucas απέδειξε το $1867$ ότι ο πρώτος $67$ δεν είναι Mersenne-πρώτος, δηλαδή ότι ο $2^{67} −1$ είναι σύνθετος, αλλά χωρίς να βρει συγκεκριμένη παραγοντοποίηση του $2^{67} − 1$, ενώ το $1903$ ο Cole βρήκε την παραγοντοποίηση 

$2^{67} − 1 = 193707721 · 761838257287$ 

μετά από πολλά χρόνια πράξεων. 

Tέλος, τo $1984$, μετά από $32$ ώρες εργασίας ενός supercomputer, βρέθηκε συγκεκριμένη παραγοντοποίηση του $2^{251} − 1$.