$f(x)= x sin\dfrac{1}{x}$

Δίνεται η συνάρτηση

$f(x)= x sin\dfrac{1}{x}$.

Να βρεθεί το όριο  

$\lim_{x \rightarrow 0} f(x)$.

Λύση

Παρ’ όλο που η συµπεριφορά αυτής της συνάρτησης κοντά στο $0$ είναι αλλόκοτη, είναι φανερό, τουλάχιστον διαισθητικά, ότι η $f$ τείνει στο $l=0$ κοντά στο $0$. 

Θέλουµε να δείξουµε ότι µπορούµε να κάνουµε το $f(x)= x sin\dfrac{1}{x}$ να έρθει όσο κοντά θέλουµε στο $0$, αν απαιτήσουµε το $x$ να είναι αρκετά κοντά στο $0$, αλλά $\neq  0$. 

Με άλλα λόγια, για οποιονδήποτε αριθµό $ε > 0$, θέλουµε να δείξουµε πως µπορούµε να εξασφαλίσουµε ότι 

  $\mid f(x)-0  \mid=  \mid x sin\dfrac{1}{x} \mid <ε$

απαιτώντας το   $\mid x  \mid= \mid x -0 \mid <ε$ να είναι ικανοποιητικά µικρό (αλλά $\neq  0$). 

Αυτό είναι όµως εύκολο. 

Αφού 

$\mid sin\dfrac{1}{x}\mid \leq 1$, για κάθε $x\neq 0$,

έχουµε 

$\mid xsin\dfrac{1}{x}\mid \leq \mid x\mid$, για κάθε $x\neq 0$,

οπότε µπορούµε να εξασφαλίσουµε ότι $\mid xsin\dfrac{1}{x}\mid<ε$ απαιτώντας απλώς $\mid x \mid <ε$ και $\neq 0$.

Aπό το βιβλίο «Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός», Michael Spivak.