f(x)=xsin1x

Δίνεται η συνάρτηση

$f(x)=xsin{\displaystyle \frac{1}{x}}$.

Να βρεθεί το όριο  

$\underset{x\to 0}{lim}f(x)$.

Λύση

Παρ’ όλο που η συµπεριφορά αυτής της συνάρτησης κοντά στο $0$ είναι αλλόκοτη, είναι φανερό, τουλάχιστον διαισθητικά, ότι η $f$ τείνει στο $l=0$ κοντά στο $0$. 

Θέλουµε να δείξουµε ότι µπορούµε να κάνουµε το $f(x)=xsin{\displaystyle \frac{1}{x}}$ να έρθει όσο κοντά θέλουµε στο $0$, αν απαιτήσουµε το $x$ να είναι αρκετά κοντά στο $0$, αλλά $\ne 0$. 

Με άλλα λόγια, για οποιονδήποτε αριθµό $\epsilon >0$, θέλουµε να δείξουµε πως µπορούµε να εξασφαλίσουµε ότι 

  $\mid f(x)-0\mid =\mid xsin{\displaystyle \frac{1}{x}}\mid <\epsilon$

απαιτώντας το   $\mid x\mid =\mid x-0\mid <\epsilon$ να είναι ικανοποιητικά µικρό (αλλά $\ne 0$). 

Αυτό είναι όµως εύκολο. 

Αφού 

$\mid sin{\displaystyle \frac{1}{x}}\mid \le 1$, για κάθε $x\ne 0$,

έχουµε 

$\mid xsin{\displaystyle \frac{1}{x}}\mid \le \mid x\mid$, για κάθε $x\ne 0$,

οπότε µπορούµε να εξασφαλίσουµε ότι $\mid xsin{\displaystyle \frac{1}{x}}\mid <\epsilon$ απαιτώντας απλώς $\mid x\mid <\epsilon$ και $\ne 0$.

Aπό το βιβλίο «Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός», Michael Spivak.