Τριγωνομετρική εξίσωση

Να λυθεί η εξίσωση 

$\sqrt{3}\eta \mu 4x+\sigma \upsilon \nu 4x=\sqrt{2}$ .

ΛΥΣΗ

Το 1ο μέλος της εξίσωσης είναι της μορφής 

$\alpha \eta \mu t+\beta \sigma \upsilon \nu t$ 

με $\alpha =\sqrt{3},\beta =1$ και όπου $t$ το $4x$.

 

Επομένως παίρνει τη μορφή 

$\alpha \eta \mu t+\beta \sigma \upsilon \nu t=\rho \eta \mu (4x+\phi )$.

Έχουμε 

$\rho =\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}=\sqrt{4}=2$ 

και 

$\{\begin{array}{l}\sigma \upsilon \nu \phi ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ ,o\pi ό\tau \epsilon \phi ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\\ \eta \mu \phi ={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$.

Άρα 

$\surd 3\eta \mu 4x+\sigma \upsilon \nu 4x=2\eta \mu (4x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$ 

και η εξίσωση γίνεται

$2\eta \mu (4x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})=\sqrt{2}$

$\iff \eta \mu (4x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

$\iff \eta \mu (4x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})=\eta \mu {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

⇔ $\{\begin{array}{l}4x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}=2\kappa \pi +{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\\ ,\kappa \in \mathbb{Z}\\ 4x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}=2\kappa \pi +(\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{4}})\end{array}$

⇔ $\{\begin{array}{l}x=\kappa {\displaystyle \frac{\pi }{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{48}}\\ ,\kappa \in \mathbb{Z}\\ x=\kappa {\displaystyle \frac{\pi }{2}}+{\displaystyle \frac{7\pi }{48}}\end{array}$.