Τριγωνομετρική εξίσωση

Να λυθεί η εξίσωση 

$\sqrt{3} ημ4x + συν4x = \sqrt{2}$ .

ΛΥΣΗ

Το 1ο μέλος της εξίσωσης είναι της μορφής 

$αημt + βσυνt$ 

με $α = \sqrt{3}, β = 1$ και όπου $t$ το $4x$.

 

Επομένως παίρνει τη μορφή 

$αημt + βσυνt =ρημ(4x + φ)$.

Έχουμε 

$ρ = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2$ 

και 

$\begin{cases} συνφ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad, \quad οπότε \quad φ = \dfrac{π}{6}\\ ημφ = \dfrac{1}{2} \quad \quad \quad \end{cases} $.

Άρα 

$√3ημ4x + συν4x = 2ημ (4x + \dfrac{π}{6} )$ 

και η εξίσωση γίνεται

$2ημ (4x + \dfrac{π}{6} ) = \sqrt{2} $

$⇔ημ (4x + \dfrac{π}{6} ) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$⇔ημ (4x + \dfrac{π}{6} ) = ημ \dfrac{π}{4} $

⇔ $\begin{cases} 4x + \dfrac{π}{6} = 2κπ +\dfrac{π}{4} \\ \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad\quad \quad \quad \quad \quad, \quad κ ∈ ℤ \\ 4x + \dfrac{π}{6} = 2κπ + \left(π - \dfrac{π}{4}\right) \quad \quad \quad \end{cases} $

⇔ $\begin{cases} x = κ\dfrac{π}{2} + \dfrac{π}{48} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad, \quad κ ∈ ℤ \\ x = κ\dfrac{π}{2} + \dfrac{7π}{48}\quad \quad \quad \end{cases} $.