Δέκα ομόκεντροι κύκλοι

Δίνονται δέκα ομόκεντροι κύκλοι και δέκα ακτίνες όπως στο σχήμα. Στα σημεία όπου ο εσωτερικός κύκλος τέμνεται από τις ακτίνες γράφουμε διαδοχικά και με τη φορά των δεικτών του ρολογιού, τους αριθμούς 

$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.$ 

Στον επόμενο κύκλο γράφουμε με την ίδια φορά τους αριθμούς 

$11,12,13,14,15,16,17,18,19,20$ 

διαδοχικά και ούτω καθεξής μέχρι τον τελευταίο κύκλο όπου γράφουμε διαδοχικά τους αριθμούς 

$91,92,93,94,95,96,97,98,99,100.$ 

Στη διάταξη αυτή, οι αριθμοί 

$1,11,21,31,41,51,61,71,81,91$ 

βρίσκονται στην ίδια ακτίνα και ομοίως και για τις άλλες ακτίνες. Μπροστά σε $50$ από αυτούς τους $100$ αριθμούς βάζουμε το πρόσημο "πλην" φροντίζοντας όμως:α) σε κάθε μία από τις $10$ ακτίνες να υπάρχουν ακριβώς 5 "πλην" και, επίσης,

β) σε κάθε έναν από τους δέκα ομόκεντρους κύκλους να υπάρχουν ακριβώς $5$ "πλην".

Δείξτε ότι το άθροισμα των $100$ προσημασμένων αριθμών που προκύπτουν, είναι μηδέν.

Αρχιμήδης Μικρών, 1996

Σάρωση για να αποθηκεύσετε ή να κοινοποιήσετε την ανάρτηση