Ιαπωνικό θεώρημα

Θεώρημα 

Σε κάθε εγγεγραμμένο τετράπλευρο $\rm {AB\Gamma \Delta }$ για τις ακτίνες $\rho _{1},\rho _{2},\rho _{3},\rho _{4}$ των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $\rm {AB\Gamma }, \rm {B\Gamma \Delta} , \rm {\Gamma \Delta A}$ και $\rm {\Delta AB}$ ισχύει ότι:

$\rho _{1}+\rho _{3}=\rho _{2}+\rho _{4}$.

Απόδειξη

Θα χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα Καρνό για τα τρίγωνα $ΑΒΓ$ και $ΑΔΓ$. Καθώς το τετράπλευρο $ΑΒΓΔ$ είναι εγγράψιμο έχουμε ότι η  $ \angle Β$ και η $ \angle Δ$ είναι παραπληρωματικές γωνίες. Χωρίς βλάβη της γενικότητας θα υποθέσουμε ότι $ \angle Β>90∘$. Έστω $s_1∈\{−1,1\}$ με $s_1=1$, ανν το τετράπλευρο $ΑΒΓΔ$ και το περίκεντρο $O$ είναι στο ίδιο ημιεπίπεδο που ορίζεται από την ευθεία της $ΑΒ$. 

Αντίστοιχα, ορίζουμε $s_2,s_3,s_4∈\{−1,1\}$ για τις πλευρές $BΓ, ΓΔ, ΔA$. Τότε για το τρίγωνο $ΑΒΓ$ ισχύει ότι 

$R+ρ_1=−OM_5+s_1⋅OM_1+s_2⋅OM_2$, 

όπου $M_1, M_2, M_3, M_4, M_5$ τα μέσα των $ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΑ$ και $ΑΓ$, αντίστοιχα, και $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τετραπλεύρου. 

Παρομοίως, για το τρίγωνο $ΑΓΔ$ ισχύει ότι 

$R+ρ_3=OM_5+s_3⋅OM_3+s_4⋅OM_4$.

Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο παραπάνω εξισώσεις έχουμε ότι

$ρ_1+ρ_3=$

$=s_1⋅OM_1+s_2⋅OM_2+s_3⋅OM_3+s_4⋅OM_4−2R$

Αντίστοιχα, από τα τρίγωνα $ΑΒΔ$ και $ΒΓΔ$, λαμβάνουμε ότι

 $ρ_2+ρ_4=$

$=s_1⋅OM_1+s_2⋅OM_2+s_3⋅OM_3+s_4⋅OM_4−2R$ 

Καταλήγουμε ότι 

$ρ_1+ρ_3=ρ_2+ρ_4$.

Από Wikipedia