Ιαπωνικό θεώρημα

Θεώρημα 

Σε κάθε εγγεγραμμένο τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ για τις ακτίνες ${\rho }_1,{\rho }_2,{\rho }_3,{\rho }_4$ των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma },\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta },\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }\mathrm{A}$ και $\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{B}$ ισχύει ότι:

${\rho }_1+{\rho }_3={\rho }_2+{\rho }_4$.

Απόδειξη

Θα χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα Καρνό για τα τρίγωνα ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ και ${\rm A}\Delta \Gamma$. Καθώς το τετράπλευρο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ είναι εγγράψιμο έχουμε ότι η  $\mathrm{\angle }{\rm B}$ και η $\mathrm{\angle }\Delta$ είναι παραπληρωματικές γωνίες. Χωρίς βλάβη της γενικότητας θα υποθέσουμε ότι $\mathrm{\angle }{\rm B}>90\circ$. Έστω $s_1\in \{-1,1\}$ με $s_1=1$, ανν το τετράπλευρο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ και το περίκεντρο $O$ είναι στο ίδιο ημιεπίπεδο που ορίζεται από την ευθεία της ${\rm A}{\rm B}$. 

Αντίστοιχα, ορίζουμε $s_2,s_3,s_4\in \{-1,1\}$ για τις πλευρές $B\Gamma ,\Gamma \Delta ,\Delta A$. Τότε για το τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ ισχύει ότι 

$R+{\rho }_1=-O{M}_5+s_1\cdot O{M}_1+s_2\cdot O{M}_2$, 

όπου $M_1,M_2,M_3,M_4,M_5$ τα μέσα των ${\rm A}{\rm B},{\rm B}\Gamma ,\Gamma \Delta ,\Delta {\rm A}$ και ${\rm A}\Gamma$, αντίστοιχα, και $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τετραπλεύρου. 

Παρομοίως, για το τρίγωνο ${\rm A}\Gamma \Delta$ ισχύει ότι 

$R+{\rho }_3=O{M}_5+s_3\cdot O{M}_3+s_4\cdot O{M}_4$.

Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο παραπάνω εξισώσεις έχουμε ότι

${\rho }_1+{\rho }_3=$

$=s_1\cdot O{M}_1+s_2\cdot O{M}_2+s_3\cdot O{M}_3+s_4\cdot O{M}_4-2R$

Αντίστοιχα, από τα τρίγωνα ${\rm A}{\rm B}\Delta$ και ${\rm B}\Gamma \Delta$, λαμβάνουμε ότι

 ${\rho }_2+{\rho }_4=$

$=s_1\cdot O{M}_1+s_2\cdot O{M}_2+s_3\cdot O{M}_3+s_4\cdot O{M}_4-2R$ 

Καταλήγουμε ότι 

${\rho }_1+{\rho }_3={\rho }_2+{\rho }_4$.

Από Wikipedia