Άθροισμα των $ν$ πρώτων όρων γεωμετρικής προόδου

Το άθροισμα των $ν$ πρώτων όρων μιας γεωμετρικής προόδου $(α_ν)$ με λόγο λ≠1 είναι

$S_ν = α_1 \cdot \dfrac{λ^ν - 1}{λ - 1}$.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Έστω 

$S_ν =α_1 + α_1λ + α_1λ^2 + ... + α_1λ^{v-2} + α_1λ^{ν - 1}$    (1)

Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της (1) με το λόγο λ και έχουμε

$λS_ν = α_1λ + α_1λ^2 + α_1λ^3 + ... +α_1λ^{ν-1} + α_1λ^ν$    (2)

Αφαιρούμε από τα μέλη της (2) τα μέλη της (1) και έχουμε:

$λS_ν - S_ν = α_1λ^ν - α_1$

ή 

 $(λ - 1)S_ν = α_1(λ^ν - 1).$

Επομένως, αφού $λ ≠ 1$, έχουμε:

$S_ν = \dfrac{α_1(λ^ν - 1)}{λ - 1}.$

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:
Στην περίπτωση που ο λόγος της προόδου είναι $λ = 1$, τότε το άθροισμα των όρων της είναι $S_ν = ν \cdot α_1$, αφού όλοι οι όροι της προόδου είναι ίσοι με $α_1$.