Άθροισμα των ν πρώτων όρων γεωμετρικής προόδου

Το άθροισμα των $\nu$ πρώτων όρων μιας γεωμετρικής προόδου $({\alpha }_{\nu })$ με λόγο λ≠1 είναι

$S_{\nu }={\alpha }_1\cdot {\displaystyle \frac{{\lambda }^{\nu }-1}{\lambda -1}}$.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Έστω 

$S_{\nu }={\alpha }_1+{\alpha }_1\lambda +{\alpha }_1{\lambda }^2+...+{\alpha }_1{\lambda }^{v-2}+{\alpha }_1{\lambda }^{\nu -1}$    (1)

Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της (1) με το λόγο λ και έχουμε

$\lambda S_{\nu }={\alpha }_1\lambda +{\alpha }_1{\lambda }^2+{\alpha }_1{\lambda }^3+...+{\alpha }_1{\lambda }^{\nu -1}+{\alpha }_1{\lambda }^{\nu }$    (2)

Αφαιρούμε από τα μέλη της (2) τα μέλη της (1) και έχουμε:

$\lambda S_{\nu }-S_{\nu }={\alpha }_1{\lambda }^{\nu }-{\alpha }_1$

ή 

 $(\lambda -1)S_{\nu }={\alpha }_1({\lambda }^{\nu }-1).$

Επομένως, αφού $\lambda \ne 1$, έχουμε:

$S_{\nu }={\displaystyle \frac{{\alpha }_1({\lambda }^{\nu }-1)}{\lambda -1}}.$

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:
Στην περίπτωση που ο λόγος της προόδου είναι $\lambda =1$, τότε το άθροισμα των όρων της είναι $S_{\nu }=\nu \cdot {\alpha }_1$, αφού όλοι οι όροι της προόδου είναι ίσοι με ${\alpha }_1$.