Ανισότητα Chebyshev και η γενίκευση της

• Ανισότητα Chebyshev

Έστω $a_1\ge a_2\ge \cdots \ge a_n$ και $b_1\ge b_2\ge \cdots \ge b_n$ πραγματικοί αριθμοί.

Τότε 

$$\begin{array}{r}n\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\ge \left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)\left(\sum _{i=1}^n{b}_i\right)\ge n\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_{n+1-i}(1)\end{array}$$ 

Οι ισότητες ισχύουν όταν $a_1=a_2=\cdots =a_n$ or $b_1=b_2=\cdots =b_n$. 

• Γενίκευση ανισότητας Chebyshev

Έστω $a_1\ge a_2\ge \cdots \ge a_n$ και $b_1\ge b_2\ge \cdots \ge b_n$ πραγματικοί αριθμοί και $m_1,\dots ,m_n$ μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα $1$. 

Τότε 

$$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i{m}_i\ge \left(\sum _{i=1}^n{a}_i{m}_i\right)\left(\sum _{i=1}^n{b}_i{m}_i\right)(2)\end{array}$$ 

Η ισότητα ισχύει, αν και μόνο αν 

$a_1=a_2=\cdots =a_n$ ή $b_1=b_2=\cdots =b_n$.