Ανισότητα Chebyshev και η γενίκευση της

• Ανισότητα Chebyshev

Έστω \(a_1\geq a_2\geq\cdots\geq a_n\) και \(b_1\geq b_2\geq\cdots\geq b_n\) πραγματικοί αριθμοί.

Τότε 

\begin{eqnarray*} n\sum_{i=1}^n a_ib_i\geq\left(\sum_{i=1}^n a_i \right)\left(\sum_{i=1}^n b_i\right)\geq n\sum_{i=1}^n a_ib_{n+1-i}\quad\quad (1) \end{eqnarray*} 

Οι ισότητες ισχύουν όταν \(a_1=a_2=\cdots=a_n\) or \(b_1=b_2=\cdots=b_n\). 

• Γενίκευση ανισότητας Chebyshev

Έστω \(a_1\geq a_2\geq\cdots\geq a_n\) και \(b_1\geq b_2\geq\cdots\geq b_n\) πραγματικοί αριθμοί και \(m_1,\dots, m_n\) μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα \(1\). 

Τότε 

\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n a_ib_im_i\geq\left(\sum_{i=1}^n a_i m_i\right) \left(\sum_{i=1}^n b_im_i\right) \quad\quad (2) \end{eqnarray*} 

Η ισότητα ισχύει, αν και μόνο αν 

\(a_1=a_2=\cdots=a_n\) ή \(b_1=b_2=\cdots=b_n\).