Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού

ΑΠΟΔΕΙΞΗ 

Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, η συνάρτηση είναι μια παράγουσα της $f$ στο $\alpha ,\beta ]$. Επειδή και η $G$ είναι μια παράγουσα της $f$ στο $[\alpha ,\beta ]$, θα υπάρχει $cϵR$ τέτοιο, ώστε 

$G(x)=F(x)+c$     (1) 

Από την (1), για $x=\alpha$, έχουμε 

οπότε $c=G(\alpha )$. 

Επομένως

$G(x)=F(x)+G(\alpha )$

οπότε, για $x=\beta$, έχουμε 

και άρα