Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού

ΑΠΟΔΕΙΞΗ 

Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, η συνάρτηση είναι μια παράγουσα της $f$ στο $α,β]$. Επειδή και η $G$ είναι μια παράγουσα της $f$ στο $[α,β]$, θα υπάρχει $c ϵ R$ τέτοιο, ώστε 

$G(x) = F(x) + c$     (1) 

Από την (1), για $x = α$, έχουμε 

οπότε $c = G(α)$. 

Επομένως

$G(x) = F(x) + G(α)$

οπότε, για $x = β$, έχουμε 

και άρα