Άθροισμα των πρώτων $ν$ όρων αριθμητικής προόδου

Το άθροισμα των $ν$ πρώτων όρων αριθμητικής προόδου $(α_ν)$, με διαφορά $ω$ είναι:

$S_ν = \dfrac{ν}{2} (α_1 + α_ν)$.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έχουμε: 

 $S_ν = α_1 +(α_1 + ω) + (α_1 + 2ω) + ... $

$...+ [α_1 + (ν - 2)ω] + [α_1 + (ν - 1)ω]$

και 

 $S_ν = α_ν +(α_ν - ω) + (α_ν - 2ω) +...$ 

$... + [α_ν - (ν - 2)ω] + [α_ν - (ν - 1)ω]$

Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις παραπάνω ισότητες έχουμε:

$2S_ν = (α_1+α_ν) + (α_1+α_ν) + (α_1+α_ν) + ...$

$... + (α_ν+α_1) + (α_ν+α_1)$

ή 

 $2S_ν = ν(α_1 + α_ν)$. 

 Άρα 

$S_ν = \dfrac{ν}{2}(α_1 + α_ν).$

Έπειδη 

$α_ν = α_1 + (ν - 1)ω$ 

 ο τύπος 

$S_ν = \dfrac{ν}{2}(α_1 + α_ν)$ 

γράφεται:

$S_ν=\dfrac{ν}{2}[2α_1 + (ν-1)ω]$.