Άθροισμα των πρώτων ν όρων αριθμητικής προόδου

Το άθροισμα των $\nu$ πρώτων όρων αριθμητικής προόδου $({\alpha }_{\nu })$, με διαφορά $\omega$ είναι:

$S_{\nu }={\displaystyle \frac{\nu }{2}}({\alpha }_1+{\alpha }_{\nu })$.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έχουμε: 

 $S_{\nu }={\alpha }_1+({\alpha }_1+\omega )+({\alpha }_1+2\omega )+...$

$...+[{\alpha }_1+(\nu -2)\omega ]+[{\alpha }_1+(\nu -1)\omega ]$

και 

 $S_{\nu }={\alpha }_{\nu }+({\alpha }_{\nu }-\omega )+({\alpha }_{\nu }-2\omega )+...$ 

$...+[{\alpha }_{\nu }-(\nu -2)\omega ]+[{\alpha }_{\nu }-(\nu -1)\omega ]$

Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις παραπάνω ισότητες έχουμε:

$2S_{\nu }=({\alpha }_1+{\alpha }_{\nu })+({\alpha }_1+{\alpha }_{\nu })+({\alpha }_1+{\alpha }_{\nu })+...$

$...+({\alpha }_{\nu }+{\alpha }_1)+({\alpha }_{\nu }+{\alpha }_1)$

ή 

 $2S_{\nu }=\nu ({\alpha }_1+{\alpha }_{\nu })$. 

 Άρα 

$S_{\nu }={\displaystyle \frac{\nu }{2}}({\alpha }_1+{\alpha }_{\nu }).$

Έπειδη 

${\alpha }_{\nu }={\alpha }_1+(\nu -1)\omega$ 

 ο τύπος 

$S_{\nu }={\displaystyle \frac{\nu }{2}}({\alpha }_1+{\alpha }_{\nu })$ 

γράφεται:

$S_{\nu }={\displaystyle \frac{\nu }{2}}[2{\alpha }_1+(\nu -1)\omega ]$.