Το άθροισμα των $ν$ πρώτων όρων αριθμητικής προόδου $(α_ν)$, με διαφορά $ω$ είναι:
$S_ν = \dfrac{ν}{2} (α_1 + α_ν)$.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Έχουμε:
$S_ν = α_1 +(α_1 + ω) + (α_1 + 2ω) + ... $
$...+ [α_1 + (ν - 2)ω] + [α_1 + (ν - 1)ω]$
και
$S_ν = α_ν +(α_ν - ω) + (α_ν - 2ω) +...$
$... + [α_ν - (ν - 2)ω] + [α_ν - (ν - 1)ω]$
Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις παραπάνω ισότητες έχουμε:
$2S_ν = (α_1+α_ν) + (α_1+α_ν) + (α_1+α_ν) + ...$
$... + (α_ν+α_1) + (α_ν+α_1)$
ή
$2S_ν = ν(α_1 + α_ν)$.
Άρα
$S_ν = \dfrac{ν}{2}(α_1 + α_ν).$
Έπειδη
$α_ν = α_1 + (ν - 1)ω$
ο τύπος
$S_ν = \dfrac{ν}{2}(α_1 + α_ν)$
γράφεται:
$S_ν=\dfrac{ν}{2}[2α_1 + (ν-1)ω]$.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου