Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η εξίσωση:
Λύση
Η άμεση κίνηση μας είναι να κάνουμε τις πράξεις και να καταλήξουμε στο πολυώνυμο:
το οποίο διαπιστώνουμε ότι δεν έχει ρητές ρίζες.
Αν πάλι θεωρήσουμε την συνάρτηση
η οποία έχει ρίζες στο , και και το γράφημα θα ήταν κάπως έτσι:
![](https://www.themathdoctors.org/wp-content/uploads/2018/04/quadric-sketch-300x215.png)
Οπότε οι λύσεις της εξίσωσης είναι τα σημεία όπου το γράφημα τέμνει την οριζόντια ευθεία . Kαι επειδή
Μπορούμε να κάνουμε κάτι απλούστερο, να κάνουμε επιμεριστική ιδιότητα μεταξύ πρώτης - τέταρτης παρένθεσης και των άλλων δύο, οπότε έχουμε:
Παρατηρούμε ότι και οι δύο παρενθέσεις περιέχουν το , το οποίο μπορούμε να αντικαταστήσουμε με , οπότε έχουμε διαδοχικά:
Αυτό συνεπάγεται ότι
οπότε
και