Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η εξίσωση:
$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=99$
Λύση
Η άμεση κίνηση μας είναι να κάνουμε τις πράξεις και να καταλήξουμε στο πολυώνυμο:
$x^4+ 10x^3+ 35x^2+ 50 x – 75 = 0$
το οποίο διαπιστώνουμε ότι δεν έχει ρητές ρίζες.
Αν πάλι θεωρήσουμε την συνάρτηση
$φ( x ) = (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4)$
η οποία έχει ρίζες στο $x = − 1 , − 2 , − 3$, και $− 4$ και το γράφημα θα ήταν κάπως έτσι:
![](https://www.themathdoctors.org/wp-content/uploads/2018/04/quadric-sketch-300x215.png)
Οπότε οι λύσεις της εξίσωσης είναι τα σημεία όπου το γράφημα τέμνει την οριζόντια ευθεία $y= 99$. Kαι επειδή
$φ(0) = 24$ και $φ(1) = 120$
Μπορούμε να κάνουμε κάτι απλούστερο, να κάνουμε επιμεριστική ιδιότητα μεταξύ πρώτης - τέταρτης παρένθεσης και των άλλων δύο, οπότε έχουμε:
$(x^2+5x+4)(x^2+5x+6) = 99$
Παρατηρούμε ότι και οι δύο παρενθέσεις περιέχουν το $x^2 + 5x$, το οποίο μπορούμε να αντικαταστήσουμε με $t$, οπότε έχουμε διαδοχικά:
$(t + 4) (t + 6) = 99$
$t^2 + 10t – 75 = 0$
$(t + 15) (t – 5) = 0$
$t = -15$ ή $5$.
Αυτό συνεπάγεται ότι
$x^2 + 5x = -15$ ή $x^2 + 5x = 5$;
οπότε
$x = \dfrac{-5 \pm i\sqrt{35} }{2}$ (αδύνατη στο $R$)
και
$x = \dfrac{-5 \pm \sqrt{45} }{2}$.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου