Translate Whole Page to Read and Solve

Σάββατο 27 Ιουλίου 2024

Εξίσωση με τέχνασμα

Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η εξίσωση:
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=99
Λύση
Η άμεση κίνηση μας είναι να κάνουμε τις πράξεις και να καταλήξουμε στο πολυώνυμο:
x4+10x3+35x2+50x75=0
το οποίο διαπιστώνουμε ότι δεν έχει ρητές ρίζες.
Αν πάλι θεωρήσουμε την συνάρτηση
φ(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
η οποία έχει ρίζες στο x=1,2,3, και 4 και το γράφημα θα ήταν κάπως έτσι:
Οπότε οι λύσεις της εξίσωσης είναι τα σημεία όπου το γράφημα τέμνει την οριζόντια ευθεία y=99. Kαι επειδή 
φ(0)=24 και φ(1)=120
οι λύσεις πρέπει να βρίσκονται μεταξύ των x=0 και x=1, που δεν υπάρχουν.
Μπορούμε να κάνουμε κάτι απλούστερο, να κάνουμε επιμεριστική ιδιότητα μεταξύ πρώτης - τέταρτης παρένθεσης και των άλλων δύο, οπότε έχουμε:
(x2+5x+4)(x2+5x+6)=99
Παρατηρούμε ότι και οι δύο παρενθέσεις περιέχουν το x2+5x, το οποίο μπορούμε να αντικαταστήσουμε με t, οπότε έχουμε διαδοχικά:
(t+4)(t+6)=99
t2+10t75=0
(t+15)(t5)=0
t=15 ή 5.
Αυτό συνεπάγεται ότι 
x2+5x=15 ή x2+5x=5;
οπότε 
x=5±i352  (αδύνατη στο R)
και 
x=5±452.