Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [74]

Δίνεται μία συνάρτηση $\displaystyle{ f }$ με συνεχή παράγωγο στο $\displaystyle{ R }$ και

 $\displaystyle{ f'(0) = 1 }$ και $\displaystyle{ [f'(x)]^2 - \left[ {f(x)} \right]^2 = 1,\forall x \in R }$. 

Να αποδείξετε ότι: 

α) Η $\displaystyle{ f }$ είναι αντιστρέψιμη. 

β) Η $\displaystyle{ f }$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{ R }$ με 

$\displaystyle{ f''(x) = f(x) }$. 

γ) Να βρείτε τον τύπο της $\displaystyle{ f }$. 

δ) Να βρείτε τον τύπο της αντίστροφης της $\displaystyle{ f }$. 

ε) Να υπολογίσετε το 

$\displaystyle{ \int\limits_0^{\frac{3}{4}} {f^{ - 1} (x)dx} }$.

Πηγή: mathematica