Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [74]

Δίνεται μία συνάρτηση ${\displaystyle f}$ με συνεχή παράγωγο στο ${\displaystyle R}$ και

 ${\displaystyle f^{\prime }(0)=1}$ και ${\displaystyle [f^{\prime }(x){]}^2-{\left[f(x)\right]}^2=1,\mathrm{\forall }x\in R}$. 

Να αποδείξετε ότι: 

α) Η ${\displaystyle f}$ είναι αντιστρέψιμη. 

β) Η ${\displaystyle f}$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ${\displaystyle R}$ με 

${\displaystyle f^{″}(x)=f(x)}$. 

γ) Να βρείτε τον τύπο της ${\displaystyle f}$. 

δ) Να βρείτε τον τύπο της αντίστροφης της ${\displaystyle f}$. 

ε) Να υπολογίσετε το 

${\displaystyle \underset{0}{\overset{\frac{3}{4}}{\int }}{f}^{-1}(x)dx}$.

Πηγή: mathematica