Xρειαζόμαστε μια απόδειξη

Γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι το γινόμενο της βάσης και του ύψους του και η περιφέρεια ενός κύκλου με ακτίνα $r$ είναι $2πr$.

Κύκλος με ακτίνα r και παραλληλόγραμμο με βάση $b$ και ύψος $h$.

Για να βρούμε το εμβαδόν ενός κύκλου με ακτίνα $r$, διαιρoύμε τον κύκλο σε ίσους κυκλικούς τομείς (μπλε και κόκκινες διαιρέσεις) και στη συνέχεια τους τακτοποιούμε, όπως φαίνεται παρακάτω.

Καθώς ο αριθμός των τομέων αυξάνεται, το σχήμα των αναδιατεταγμένων τομέων γίνεται όλο και πιο παραλληλόγραμμο.

Παρατηρήστε ότι όσο αυξάνεται ο αριθμός των τομέων, το σχήμα των αναδιατεταγμένων τομέων μοιάζει όλο και περισσότερο με παραλληλόγραμμο. 

Στην πραγματικότητα, αν μπορούμε να διαιρέσουμε τον κύκλο σε έναν άπειρο αριθμό κυκλικών τομέων, φαίνεται ότι το σχήμα τείνει να γίνει ένα παραλληλόγραμμο. Υποθέτοντας ότι αυτό ισχύει, τότε η βάση ενός παραλληλογράμμου είναι $πr$ (Εξηγήστε γιατί.), και το ύψος του είναι $r$.

Εφόσον το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι $bh$, πρέπει απλώς να πολλαπλασιάσουμε τη βάση του παραλληλογράμμου που είναι $πr$ και το ύψος του που είναι $r$ για να βρούμε το εμβαδόν του. Επομένως, το εμβαδόν του παραλληλογράμμου, που είναι ίσο με το εμβαδόν ενός κύκλου, είναι $πr^2$.

Eμβαδόν κύκλου

Μπορούμε επίσης να βρούμε το εμβαδόν ενός κύκλου ξετυλίγοντας έναν άπειρο αριθμό κυκλικών δακτυλίων. Όσο μικρότερο γίνεται το πλάτος των δακτυλίων, η αναδιαταγμένη φιγούρα γίνεται όλο και περισσότερο σαν τρίγωνο. Αν είναι όντως τρίγωνο, τότε το εμβαδόν του είναι το γινόμενο του ύψους και του πλάτους του.

 Η βάση του παραλληλογράμμου είναι $πr$ και το ύψος του είναι $r$.

Γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι το γινόμενο της βάσης και του ύψους του διαιρούμενο με το $2$. Επειδή η βάση του τριγώνου είναι ίση με την περιφέρεια του κύκλου $2πr$, και το ύψος του είναι ίσο με την ακτίνα του $r$, επομένως, το εμβαδόν του τριγώνου που είναι ίσο με το εμβαδόν του κύκλου, είναι

$\dfrac{2πr\times r}{2}=πr^2$.

Oi διαδικασίες που κάναμε παραπάνω είναι λογικές. Ωστόσο, υποθέσαμε μόνο ότι μπορούμε να διαιρέσουμε τον κύκλο σε άπειρο αριθμό τομέων ή μπορούμε να ξετυλίξουμε έναν άπειρο αριθμό δακτυλίων. Αυτά είναι απλώς υποθέσεις, επομένως, δεν είμαστε ακόμη σίγουροι αν το εμβαδόν του κύκλου είναι πράγματι $πr^2$. Φυσικά, ξέρουμε ότι είναι αλήθεια, αλλά χρειαζόμαστε μια απόδειξη. 

Διαβάστε περισσότερα »