Ορθόκεντρα και ίχνη

Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ και έστω $D,E$ και $F$ τα ίχνη των υψών του από τις κορυφές $A,B,C$ αντίστοιχα. Συμβολίζουμε με $A\prime ,B\prime ,C\prime$ τις προβολές των $A,B,C$ στις ευθείες $EF,FD,DE$, αντίστοιχα.

Επιπλέον, έστω $HD,HE,HF$ τα ορθοκέντρα των τριγώνων $DB\prime C\prime ,EC\prime A\prime ,FA\prime B\prime$.

Δείξτε ότι

$H_D{B}^2+H_E{C}^2+H_F{A}^2=H_D{C}^2+H_E{A}^2+H_F{B}^2$.