Η ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή

Θεωρούμε τις γνωστές μας συνεπαγωγές: 

    $α = β ⇒ α^2 = β^2$         (1) 

 και 

$α = β ⇒ α + γ = β + γ$       (2) 

που ισχύουν για όλους τους πραγματικούς $α, β$ και $γ$. 

Παρατηρούμε ότι: 

Για την πρώτη συνεπαγωγή, δεν ισχύει το αντίστροφο. Δηλαδή δεν ισχύει η συνεπαγωγή 

$α^2 = β^2 ⇒ α = β$ 

για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $α$ και $β$, αφού για παράδειγμα είναι $(-3)^2 = 3^2$, ενώ $-3 ≠ 3$. 

Για τη δεύτερη, όμως, συνεπαγωγή ισχύει και το αντίστροφο. Δηλαδή για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $α, β, γ$ ισχύει και η συνεπαγωγή: 

$α + γ = β + γ ⇒ α = β$ 

Γι’ αυτό λέμε ότι οι δύο ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι και γράφουμε: 

$α = β ⇔ α + γ = β + γ$. 

Γενικά: 

Αν $P$ και $Q$ είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο $P$, να αληθεύει και ο $Q$ και όταν αληθεύει ο $Q$, να αληθεύει και ο $P$, τότε λέμε ότι ο $P$ συνεπάγεται τον $Q$ και αντιστρόφως ή, αλλιώς, ότι ο $P$ είναι ισοδύναμος με τον $Q$ και γράφουμε $P ⇔ Q$ . 

Ο ισχυρισμός «$P ⇔ Q$» λέγεται ισοδυναμία και αρκετές φορές διαβάζεται «$P$ αν και μόνο αν $Q$».

Από το σχολικό βιβλίο της Άλγεβρας της Α΄ Λυκείου.