Οι κύβοι είναι οι διαφορές τετραγώνων τριγωνικών αριθμών;

Τις προάλλες παρατήρησα ότι ο τέλειος κύβος $64$ μπορεί να γραφτεί ως $100-36={10}^2-6^2$ , και οι αριθμοί $10$ και $6$ τυχαίνει να είναι διαδοχικοί τριγωνικοί αριθμοί (οι τριγωνικοί αριθμοί είναι $1,3,6,10,15,..$ ). 

Σκεπτόμενος ότι αυτό πρέπει να είναι σύμπτωση, έλεγξα ένα άλλο: το $216$ είναι ένας τέλειος κύβος, και  είναι η διαφορά των $441$ και $225$, και τα δύο τετράγωνα των τριγωνικών αριθμών $21$ και $15$

δηλαδή $216=441-225={21}^2-{15}^2$.

Η πρόκληση: 

Είναι κάθε τέλειος κύβος η διαφορά δύο τέλειων τετραγώνων, καθένα από τα οποία είναι το τετράγωνο δύο διαδοχικών τριγωνικών αριθμών; 

Αποδείξτε την απάντησή σας.