Click to Translate Whole Page to Read and Solve

Τετάρτη 1 Μαΐου 2024

41η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 - ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ

Πρόβλημα 1 
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ABC με AC>AB και D το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας A^ με την πλευρά BC. Οι συμμετρικές ευθείες των AB και AC ως προς την BC τέμνουν τις ευθείες AC και AB στα σημεία E και F αντίστοιχα. 
Μια ευθεία που διέρχεται από το D τέμνει τις ευθείες AC και AB στα σημεία G και H αντίστοιχα, ώστε το G να βρίσκεται στο εσωτερικό του τμήματος AC και το H να βρίσκεται στο εσωτερικό του τμήματος BF
Να αποδείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων EDG και FDH εφάπτονται μεταξύ τους. 
Πρόβλημα 2 
Έστω ακέραιοι nk3. Να αποδείξετε ότι για κάθε πεπερασμένη ακολουθία ακεραίων 1a1<a2<<akn, μπορούμε να επιλέξουμε μη αρνητικούς ακεραίους b1,b2,,bk, που ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες: 
(i) 0bin  για κάθε 1ik
(ii) όλα τα θετικά bi είναι διαφορετικά ανά δύο, 
(iii) τα αθροίσματα ai+bi για 1ik, σχηματίζουν μια μετάθεση των πρώτων k όρων μιας μη σταθερής αριθμητικής προόδου.  
Πρόβλημα 3 
Έστω a και b διαφορετικοί θετικοί ακέραιοι τέτοιοι, ώστε ο 3a+2 να διαιρείται από τον 3b+2. Να αποδείξετε ότι a>b2
Πρόβλημα 4 
Έστω R+=(0,) το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών. Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις f:R+R+ και τα πολυώνυμα P(x) που έχουν μη αρνητικούς πραγματικούς συντελεστές με P(0)=0, έτσι ώστε να ισχύει 
f(f(x)+P(y))=f(xy)+2y 
για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x>y>0.
Πηγή: mathematica