Πρόβλημα 1
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο με και το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας με την πλευρά . Οι συμμετρικές ευθείες των και ως προς την τέμνουν τις ευθείες και στα σημεία και αντίστοιχα.
Μια ευθεία που διέρχεται από το τέμνει τις ευθείες και στα σημεία και αντίστοιχα, ώστε το να βρίσκεται στο εσωτερικό του τμήματος και το να βρίσκεται στο εσωτερικό του τμήματος .
Να αποδείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων και εφάπτονται μεταξύ τους.
Πρόβλημα 2
Έστω ακέραιοι . Να αποδείξετε ότι για κάθε πεπερασμένη ακολουθία ακεραίων , μπορούμε να επιλέξουμε μη αρνητικούς ακεραίους , που ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες:
(i) για κάθε ,
(ii) όλα τα θετικά είναι διαφορετικά ανά δύο,
(iii) τα αθροίσματα για , σχηματίζουν μια μετάθεση των πρώτων όρων μιας μη σταθερής αριθμητικής προόδου.
Πρόβλημα 3
Έστω και διαφορετικοί θετικοί ακέραιοι τέτοιοι, ώστε ο να διαιρείται από τον . Να αποδείξετε ότι .
Πρόβλημα 4
Έστω το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών. Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις και τα πολυώνυμα που έχουν μη αρνητικούς πραγματικούς συντελεστές με , έτσι ώστε να ισχύει
για όλους τους πραγματικούς αριθμούς .
Πηγή: mathematica